Dinámica del punto material (G.I.T.I.)
De Laplace
Contenido |
1 Introducción
2 Principios de la Dinámica
Los principios de la dinámica o Leyes de Newton son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus Principia Mathematica.
Una versión de estos principios, enunciada de forma moderna, es la siguiente, donde encabezamos cada principio con el nombre con el que se lo conoce habitualmente:
2.1 Primer principio: Principio de inercia
El primer principio de la dinámica, también conocido como Primera Ley de Newton puede formularse como
- “Toda partícula libre de interacciones permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme.”
Normalmente se formula usando “fuerzas” en lugar de “interacciones” pero puesto que ello requiere el haber definido previamente el concepto de fuerza, es preferible enunciarlo de una manera más genérica.
Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo.
Lo que nos dice esta ley es que el espacio es euclídeo ya que las trayectorias de las partículas libres son rectas y no circunferencias (como ocurriría en la superficie de una esfera). El primer principio permite definir sistemas de referencia ortogonales que se extienden indefinidamente en el espacio y en el tiempo.
El primer principio de la dinámica nos permite definir los sistemas de referencia inerciales como aquellos en que una partícula libre sigue un movimiento rectilíneo y uniforme.
El principio de inercia se ve modificado en la teoría general de la relatividad, que corrige y generaliza las leyes de Newton. En su versión más general, una partícula libre no sigue necesariamente un movimiento rectilíneo y uniforme, sino que se desplza siguiendo una geodésica. En el marco de la relatividad general, el principio de inercia no es un postulado separado, sino que es una consecuencia del segundo principio.
2.2 Segundo principio: Segunda Ley de Newton
El segundo principio de la dinámica requiere previamente la definición de la cantidad de movimiento 
de una partícula, como
de manera que la ley se enuncia
- “La derivada de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre ella.”
En forma matemática
En la mayoría de las ocasiones, la masa de una partícula es una constante por lo que la derivada de la cantidad de movimiento es igual a
de donde llegamos a la forma habitual de expresar la segunda ley de Newton
con 
la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula.
Esta ley requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas, como un dato del problema. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran:
- La ley de Hooke, para el oscilador armónico
- La ley de la gravitación universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra
- Esta ley contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre
- La ley de Lorentz, para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético
- Un caso particular de esta ley es la ley de Coulomb, para la fuerza producida por una carga en reposo
Una característica común a todas estas leyes de fuerza es que proporcionan una fuerza dependiente de la posición y de la velocidad instantáneas de la partícula. Por ello, matemáticamente, la segunda ley de Newton proporciona la ecuación de movimiento como una ecuación diferencial
La solución de esta ecuación diferencial, por métodos analíticos y numéricos, nos permite determinar la posición ulterior de una partícula, conocidas su posición y velocidades iniciales.
2.3 Tercer principio: ley de acción y reacción
Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas:
- “Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza igual y de sentido contrario.”
Matemáticamente
Hay que destacar que estas dos fuerzas no se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Sólo en el caso de que se encuentren rígidamente unidas se cancelarán sus efectos.
La tercera ley de Newton puede formularse en dos versiones. La versión débil es la enunciada más arriba, donde solo indica que las fuerzas son iguales y opuestas. La versión fuerte es más restrictiva e informativa:
- “Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza igual y de sentido contrario y ambas fuerzas actúan sobre la recta que pasa por las dos partículas”
Matemáticamente
y 
Este requisito adicional establece que las fuerzas de interacción son centrales lo que tiene importantes consecuencias en la ley de conservación del momento cinético de un sistema de partículas.
No todas las fuerzas de la naturaleza cumplen la tercera ley de Newton. Las que sí lo hacen se denominan fuerzas newtonianas. Entre las fuerzas newtonianas se encuentran los ejemplos importantes de la ley de la gravitación universal, la ley de Hooke y la ley de Coulomb, por lo que las consecuencias del principio de acción y reacción se aplican a la mayoría de los casos prácticos.
3 El problema fundamental de la dinámica
La segunda ley de Newton relaciona la segunda derivada de la posición con la fuerza que actúa sobre la partícula
De acuerdo con esta ecuación, si conocemos la posición de una partícula como función del tiempo, podemos determinar la fuerza que actúa sobre ella. Este e esl principio que se usa en un dinamómetro. Sabiendo el estado de movimiento (o de reposo, en el caso estático), empleamos este dato para medir la fuerza.
No obstante, no es este el problema principal de la dinámica.
El problema fundamental de la dinámica es: conocida la fuerza que actúa sobre una partícula, así como su posición y velocidad iniciales, ¿cómo se mueve dicha partícula?
En el caso de que conozcamos la fuerza como función del tiempo, la respuesta es sencilla: basta con integrar dos veces respecto al tiempo
Lo normal, sin embargo, es que la fuerza no se conozca como función del tiempo, sino como función de la posición (por ejemplo, de acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza ejercida por un resorte es F = − kx), de la velocidad (por ejemplo, la fuerza de Coriolis, que aparece en un sistema no inercial, es proporcional a la velocidad) y en ocasiones del tiempo, esto es
o, en términos de las derivadas de la posición
Esto quiere decir que para poder determinar la posición como función del tiempo, debemos integrar una función... que no conocemos hasta que hayamos determinado la propia posición. Esta aparente circularidad convierte a esta fórmula en lo que se conoce como una ecuación diferencial y hace que su integración no sea absoluto trivial. De hecho, en solo algunos casos es posible determinar analíticamente la posición incluso aunque se conozca perfectamente la fuerza.
En numerosas situaciones de interés, es preciso recurrir a la integración numérica, en la cual se obtiene la posición, con una cierta precisión, con ayuda de ordenadores. Por ejemplo, el movimiento de la Tierra respecto al Sol puede determinarse exactamente, si solo consideramos estos dos astros, pero el movimiento del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol es imposible de resolver analíticamente y requiere de técnicas aproximadas.
El problema se agrava porque a menudo el conocimiento de la fuerza es incompleto. Se conocen algunas fuerzas aplicadas sobre la partícula, pero otras son también incógnitas del problema. En particular, las conocidas como fuerzas de reacción vincular, asociadas a la presencia de restricciones sobre el movimiento de la partícula (por ejemplo, para el caso de un péndulo, la tensión de la cuerda es una incógnita del problema).
Todo ello hace que el problema de la dinámica de una partícula (y no digamos el de un sistema de partículas interactuantes) sea uno de los más complicados de la Física y que solo algunos resultados parciales sean fácilmente accesibles.
