Triángulo en movimiento helicoidal

De Laplace

Revisión a fecha de 17:30 3 ago 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 EIRMD
3 Aceleración normal
4 Aceleración y ley horaria

1 Enunciado

El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:

Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: $\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t) \vec{k}$ .
El vértice C se mueve describiendo la hélice $Γ$ , que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde $R$ y $h$ son constantes conocidas):

$\vec{r}(\theta)= R\cos\theta\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ h\theta\vec{k}$

Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado.
Exprese la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado.
Para el caso en que $v (t) = v 0$ (cte.), y $h = R / 2$ , calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria $s = s (t)$ con que el punto C describe su trayectoria.

2 EIRMD

El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento se caracteriza porque en cada uno de sus puntos

$\vec{v}^P \parallel \vec{\omega}$

Por otro lado, tenemos que, dados dos puntos cualesquiera del sólido

$\vec{v}^B = \vec{v}^A + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}$

En este caso en concreto tenemos que las velocidades de A y B son iguales por lo que

$\vec{v}^A = \vec{v}^B \qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}$

Esto quiere decir que $\vec{\omega}$ es paralelo a $\overrightarrow{AB}$ y por tanto

$\vec{\omega}=\omega\vec{k}$

Pero esta misma direccion es la de las velocidades de A y B

$\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t)\vec{k}\parallel \vec{\omega}=\omega \vec{k}$

Por tanto el EIRMD no es otro que el el eje que pasa por A y B: el eje Z.

La velocidad de deslizamiento, común a todos los puntos del sólido, será igual a la de A o B

$\vec{v}_d = \vec{v}^A=v(t)\vec{k}$

3 Aceleración normal

La aceleración normal de C es igual a

$\vec{a}^C_n = \frac{(v^C)^2}{R_c}\vec{N}$

siendo $R c$ el radio de curvatura de la trayectoria.

De la velocidad de C necesitamos la celeridad, pero solo conocemos la componente vertical que es igual a la velocidad de deslizamiento

$v^C_z = v_d = v(t)\,$

Relacionamos ambas cosas observando que

$\vec{v}= v\vec{T}$

siendo el vector tangente

$\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}\theta}{\left|\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}\theta\right|}$

A partir de las ecuaciones paramétricas de la hélice obtenemos el vector tangente

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-R\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+R\cos\theta\vec{\jmath}+h\vec{k}$ $\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right| =\sqrt{R^2+h^2}$ $\vec{T}=-\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}\cos\theta\vec{\jmath}+\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}\vec{k}$

Por tanto la componente vertical de la velocidad de C es

$v^C_z = v^CT_z = \frac{hv^C}{\sqrt{R^2+h^2}}$

y de aquí obtenemos la celeridad de C

$v^C = \frac{\sqrt{h^2+R^2}}{h}v(t)$

El radio de curvatura de una hélice no es, como pudiera pensarse, igual a R, el radio del cilindro sobre el que se encuentra. Para calcularlo se emplea la fórmula general

$R_c = \frac{\left|\vec{r}'\right|^3}{\left|\vec{r}'\times\vec{r}''\right|}$ $\vec{r}'\equiv \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}$ $\vec{r}''\equiv \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}\theta^2}$

En este caso resulta