1.12. Ejemplo de construcción de una base

De Laplace

Revisión a fecha de 22:53 21 jul 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Primer vector
3 Segundo vector
4 Tercer vector

1 Enunciado

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$ $\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

El primer vector vaya en la dirección de $\vec{v}$
El segundo esté contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$
El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

2 Primer vector

Obtenemos el primer vector normalizando el vector $\vec{v}$ , esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo

$\vec{u}_1=\frac{\vec{v}}{v}$

Hallamos el módulo de $\vec{v}$

$v = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$

por lo que

$\vec{u}_1 = \frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}$

3 Segundo vector

El segundo vector debe estar en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ , por lo que debe ser una combinación lineal de ambos

$\vec{u}_2 = \lambda\vec{v}+\mu\vec{a}$

además debe ser ortogonal a $\vec{u}_1$ (y por tanto, a $\vec{v}$ )

$\vec{u}_2\cdot\vec{u}_1 = 0 = \vec{u}_2\cdot\vec{v}$

y debe ser unitario

$\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=1$

El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de $\vec{a}$ normal a $\vec{v}$ y posteriormente normalizar el resultado.

La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial

$\vec{a}_n = -\frac{(\vec{a}\times\vec{v})\times\vec{v}}{v^2}$

Calculamos el primer producto vectorial

$\vec{a}\times\vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & -1 & -2\\ 1 & 2 & 2\end{matrix}\right|=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+\vec{k}$

Hallamos el segundo

$\vec{a}\times\vec{v})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}\right|=-6\vec{\imath}-3\vec{\jmath}-6\vec{k}$

Dividiendo por el módulo de \vec{v} al cuadrado y cambiando el signo obtenemos la componente normal

\vec{a}_n =

4 Tercer vector

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2 Primer vector

3 Segundo vector

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