Vectores libres

De Laplace

Revisión a fecha de 16:39 19 jul 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Tipos de magnitudes
2 Vectores. Definición y clasificación
- 2.1 Definición
- 2.2 Tipos de vectores
3 Vectores libres. Suma y producto por un escalar
4 Bases vectoriales. Componentes de un vector. Coordenadas de un punto
5 Producto escalar

1 Tipos de magnitudes

Una magnitud física es cualquier propiedad física susceptible de ser medida. Ejemplos: el tiempo ( $t$ ), la velocidad ( $\vec{v}$ ), la masa ( $m$ ), la temperatura ( $T$ ), el campo eléctrico ( $\vec{E}$ ).

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en:

1.1 Magnitudes escalares

Las magnitudes escalares son aquéllas que quedan completamente determinadas mediante el conocimiento de su valor expresado mediante una cantidad (un número real) seguida de una unidad (a excepción de las adimensionales). Ejemplos: el tiempo ( $t$ ), la masa ( $m$ ), la temperatura ( $T$ ), la carga eléctrica ( $q$ ), el coeficiente de rozamiento ( $μ$ ).

1.2 Magnitudes vectoriales

Las magnitudes vectoriales son aquéllas que no quedan completamente determinadas por su valor (cantidad y unidad), sino que requieren además el conocimiento de la dirección y el sentido de su actuación, e incluso en algunos casos el conocimiento de su recta soporte o de su punto de aplicación. Ejemplos: la velocidad ( $\vec{v}$ ), la aceleración ( $\vec{a}$ ), la fuerza ( $\vec{F}$ ), el campo eléctrico ( $\vec{E}$ ).

1.3 Otros tipos de magnitudes

Las magnitudes tensoriales generalizan el concepto de magnitud vectorial. Mientras las vectoriales pueden ser representadas por una matriz 3×1, las tensoriales requieren matrices 3×3 o incluso entes de mayores dimensiones.

2 Vectores. Definición y clasificación

2.1 Definición

El concepto de vector es un concepto matemático con interés físico, ya que permite representar o describir las magnitudes vectoriales, así como operar con ellas.

Un vector geométrico es un segmento orientado dotado de los siguientes elementos:

Módulo: es su longitud, proporcional al valor de la magnitud física.
Dirección: es la dirección de su recta soporte
Sentido: es la orientación del segmento, indicada mediante una flecha y que permite definir cuál es su origen y cuál su extremo
Recta soporte: es la recta a la que pertenece el segmento
Punto de aplicación: es el origen del segmento.

2.2 Tipos de vectores

2.2.1 Vectores ligados

Vectores ligados: son los que quedan definidos mediante su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. No existe ningún movimiento que los deje invariantes. Ejemplos: la velocidad, el momento de una fuerza respecto a un punto, el campo eléctrico.

2.2.2 Vectores deslizantes

Vectores deslizantes: son los que quedan definidos mediante su módulo, dirección, sentido y recta soporte. Por tanto, son invariantes ante deslizamientos a lo largo de su recta soporte. Ejemplos: la velocidad angular, la fuerza que actúa sobre un sólido rígido.

2.2.3 Vectores libres

Vectores libres: son los que quedan definidos mediante su módulo, dirección y sentido. Por tanto, son invariantes ante traslaciones en el espacio. Ejemplo: la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido.

En principio, cada magnitud física vectorial, según su naturaleza, puede ser representada por una de estas tres clases de vectores. Sin embargo, en ocasiones, es la naturaleza del problema físico concreto la que determina que una misma magnitud se describa mediante una u otra clase de vectores. Así, por ejemplo, una fuerza se comporta como un vector deslizante cuando actúa sobre un sólido rígido, y como un vector ligado cuando lo hace sobre un sólido deformable.

3 Vectores libres. Suma y producto por un escalar

Los vectores libres admiten la definición de las operaciones suma y producto por un escalar con una serie de propiedades algebraicas (definición algebraica de vector). No obstante, el primer requisito para poder operar con vectores libres ha de ser la definición de una relación de equivalencia.

La relación de equivalencia entre vectores libres está implícita en la propia definición de éstos, de tal modo que diremos que dos vectores libres son equivalentes (y escribiremos $\vec{a}=\vec{b}$ ) cuando tengan respectivamente iguales sus módulos, sus direcciones y sus sentidos (podrán tener diferentes, por tanto, sus rectas soporte y sus puntos de aplicación).

La suma de vectores libres, $\vec{a}+\vec{b}$ , se define mediante las conocidas como regla del paralelogramo o regla del triángulo, y presenta las siguientes propiedades algebraicas:

Conmutativa

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

Asociativa

$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

Existencia de elemento neutro

$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$

Existencia de elemento opuesto

$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$

La operación suma, junto a la existencia de elemento opuesto, permite definir la resta o diferencia de vectores:

$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

El producto de un vector libre, $\vec{a}$ , por un escalar, $λ$ (número real), se define como un nuevo vector libre, $\lambda\,\vec{a}$ , cuyo módulo es igual al producto del escalar (en valor absoluto) por el módulo del vector original, cuya dirección es la misma que la del vector original, y cuyo sentido es el mismo o el opuesto al del vector original según el escalar sea positivo o negativo, respectivamente. Esta operación presenta las siguientes propiedades algebraicas:

Asociativa respecto al producto por escalar

$\lambda\,(\mu\,\vec{a})=(\lambda\,\mu)\,\vec{a}$

Distributiva respecto a la suma de vectores

$\lambda\,(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\,\vec{a}+\lambda\,\vec{b}$

Distributiva respecto a la suma de escalares

$(\lambda+\mu)\,\vec{a}=\lambda\,\vec{a}+\mu\,\vec{a}$

Existencia de escalar unidad

$1\,\vec{a}=\vec{a}$

4 Bases vectoriales. Componentes de un vector. Coordenadas de un punto

Una base de vectores libres en el espacio ordinario tridimensional $E 3$ es cualquier terna de vectores, $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$ , tal que todo vector libre, $\vec{a}$ , se pueda expresar como combinación lineal de ellos, es decir:

$\vec{a}=a_1\vec{v}_1+a_2\vec{v}_2+a_3\vec{v}_3$

Se dice entonces que $[a 1, a 2, a 3]$ son las componentes del vector $\vec{a}$ en la base vectorial $B$ , lo cual se puede expresar del siguiente modo:

$\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]_{B}$ o bien $\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]$ (si no hay ambigüedad respecto a la base)

Por tanto, un mismo vector tendrá una terna distinta de componentes en cada una de las infinitas bases posibles.

Desde un punto de vista geométrico, una base vectorial en el espacio ordinario $E 3$ es cualquier terna de vectores que no sean colineales ni coplanarios.

Para describir el espacio ordinario, se puede definir un sistema de ejes coordenados cartesianos, $O X 1 X 2 X 3$ , al cual se le asocia una base cartesiana ortonormal, $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ (formada por tres vectores unitarios, perpendiculares entre sí, que siguen las direcciones de los ejes $O X 1$ , $O X 2$ y $O X 3$ , respectivamente). Cuando el sistema de ejes cartesianos es $O X Y Z$ , se prefiere la notación $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$ para su base ortonormal asociada.

La posición de un punto genérico, $P$ , respecto a un sistema de ejes cartesianos, $O X 1 X 2 X 3$ , queda unívocamente definida mediante su vector de posición:

$\overrightarrow{OP}=p_1\vec{u}_1+p_2\vec{u}_2+p_3\vec{u}_3$

Se denominan coordenadas cartesianas del punto $P$ en dicho sistema de ejes a las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir, a la terna $[p 1, p 2, p 3]$ .

Conocidas las coordenadas cartesianas del origen y del extremo de un vector, basta restarle las primeras a las segundas para obtener las componentes cartesianas del vector. Por ejemplo, dados los puntos $P (p 1, p 2, p 3)$ y $Q (q 1, q 2, q 3)$ , es inmediato calcular las componentes del vector $\overrightarrow{PQ}$ :

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}= [q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3]$

5 Producto escalar

Dados dos vectores, $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , que forman un ángulo $θ$ ( $0\leq\theta\leq\pi$ ), se denomina $p r o d u c t o e s c a l a r$ , $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , al escalar (número real) que resulta de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,||\,\vec{b}\,|\cos(\theta)$

El producto escalar presenta las siguientes propiedades geométricas:

Condición de ortogonalidad: si $\vec{a}\neq\vec{0}\neq\vec{b}$ entonces $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ $\Rightarrow$ $\vec{a}\perp\vec{b}$

Proyecciones ortogonales:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\;\mbox{proy}_{\parallel\vec{a}}\,[\,\vec{b}\,]= |\,\vec{b}\,|\;\mbox{proy}_{\parallel\vec{b}}\,[\,\vec{a}\,]$

Aplicaciones:

si $\left|\vec{u}\right|=1$ , entonces $\vec{a}\cdot\vec{u}=\mbox{proy}_{\parallel\vec{u}}\,[\,\vec{a}\,]\,$
si $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ es ortonormal,

$\vec{a}=(\vec{a}\cdot\vec{u}_1)\,\vec{u}_1+ (\vec{a}\cdot\vec{u}_2)\,\vec{u}_2+(\vec{a}\cdot\vec{u}_3)\,\vec{u}_3$

Métrica (permite medir distancias y ángulos):

Módulo de un vector $\vec{a}$ :

$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$

Distancia entre dos puntos $P$ y $Q$ :

$d(P,Q)=|\,\overrightarrow{PQ}\,|=\sqrt{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ}}$

Ángulo formado por dos rectas, $r$ y $s$ :

$\cos(\theta)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}$

Cosenos directores de una recta $r$ :

$\cos(\alpha_i)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{u}_i}{\left|\vec{a}\right|}\quad(i=1,2,3)$

El producto escalar presenta las siguientes propiedades algebraicas:

Asociativa respecto al producto por un escalar

$(\alpha\,\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(\alpha\,\vec{b})=\alpha\,(\vec{a}\cdot\vec{b})$

Conmutativa

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$

Distributiva respecto a la suma

$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$

Cancelativa

$\vec{x}\cdot\vec{a}=\vec{x}\cdot\vec{b}$ $\Rightarrow$ $\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$ siendo $\vec{c}\perp\vec{x}$ y, por tanto, $\vec{x}\cdot\vec{c}=0$

Respecto al producto escalar en componentes cartesianas, destacaremos:

Producto escalar de los vectores de una base cartesiana ortonormal, $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ :

$\vec{u}_i\cdot\vec{u}_k=\delta_{ik}=\begin{cases} 1 & (i=k) \\ 0 & (i\neq k)\end{cases}$

donde a $δ i k$ se la denomina delta de kronecker

Producto escalar de dos vectores arbitrarios, $\vec{a}$ y $\vec{b}$ (se deduce del punto anterior y de las propiedades algebraicas):

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Aplicaciones:

Módulo de un vector

$\left|\vec{a}\right| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Distancia entre dos puntos

$\displaystyle d(P,Q)=\sqrt{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ}}= \sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$

Cosenos directores

$\cos(\alpha_i)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{u}_i}{|\,\vec{a}\,|}= \frac{a_i}{[\,a_1^2+a_2^2+a_3^2\,]^{1/2}} \ (i=1,2,3)$ (obsérvese que: $cos 2 (α 1) + cos 2 (α 2) + cos 2 (α 3) = 1$ )

Finalmente, como aplicación geométrica del producto escalar, se puede deducir la ecuación vectorial normal del plano, $π$ , que pasa por el punto $P 1 (x 1, y 1, z 1)$ y que es normal al vector $\overrightarrow{N}=[\,\alpha,\beta,\gamma\,]$ . Si $P (x, y, z)$ es un punto genérico del plano $π$ , entonces:

$\overrightarrow{N}\perp\overrightarrow{P_1P}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{P_1P}=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{N}\cdot(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP_1})=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{OP_1}$

que, efectuando el producto escalar en componentes cartesianas, se traduce en que todo punto $P (x, y, z)$ que pertenezca al plano $π$ debe satisfacer la ecuación general:

α(x - x 1) + β(y - y 1) + γ(z - z 1) = 0

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1 Tipos de magnitudes

1.1 Magnitudes escalares

1.2 Magnitudes vectoriales

1.3 Otros tipos de magnitudes

2 Vectores. Definición y clasificación

2.1 Definición

2.2 Tipos de vectores

2.2.1 Vectores ligados

2.2.2 Vectores deslizantes

2.2.3 Vectores libres

3 Vectores libres. Suma y producto por un escalar

4 Bases vectoriales. Componentes de un vector. Coordenadas de un punto

5 Producto escalar

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