Corriente y campo de un cable coaxial

De Laplace

Revisión a fecha de 22:16 30 jun 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Corriente eléctrica
3 Campo magnético

1 Enunciado

Se tiene un cable coaxial rectilíneo de longitud L = 20 m formado por un núcleo cilíndrico de cobre de radio a = 4 mm, rodeado de una capa de dieléctrico ideal de radio exterior b = 7 mm. Por fuera del dieléctrico se encuentra una corona, también de cobre, de radio exterior c = 9 mm. El cable está terminado en un cortocircuito que conecta el núcleo interior con la corona exterior. En el extremo inicial del cable se establece una diferencia de potencial V₀ = 3 mV.

Calcule la intensidad de corriente que circula por el núcleo de cobre, así como la densidad de corriente y el campo eléctrico en todos los puntos del cobre.
Calcule el valor aproximado del campo magnético B en todos los puntos del espacio. Suponga que μ = μ₀ en todos los materiales. Desprecie los efectos de borde, considerando, para el cálculo de $\mathbf{B}$, el cable como de longitud infinita.

2 Corriente eléctrica

2.1 Intensidad de corriente

En este sistema tenemos dos resistencias puestas en serie. La corriente sale de la fuente de tensión y avanza por el núcleo del cable, llega al cortocircuito final y retorna por el conductor exterior, cerrándose el circuito.

Tanto en el núcleo como en la corteza exterior la corriente es longitudinal

$\mathbf{J}=J\mathbf{u}_z\,$

En este caso, cada resistencia, como en el caso de un cable grueso o un tubo conductor, equivale a la de un conductor filiforme;

$R = \frac{L}{\sigma S}$

En este problema tenemos dos resistencias: la del núcleo central

$R_1 = \frac{L}{\sigma\pi a^2}=\frac{20\,\mathrm{m}}{(5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m})(16\pi \times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=6.67\,\mathrm{m}\Omega$

y la de la corteza exterior

$R_1 = \frac{L}{\sigma\pi (c^2-b^2)}=\frac{20\,\mathrm{m}}{(5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m})((81-49)\pi \times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=3.34\,\mathrm{m}\Omega=\frac{R_1}{2}$

Esta resistencia es exactamente la mitad que la anterior porque en este sistema se verifica que

$c^2-b^2 = 2a^2\,$

y al ser la sección de la corona el doble de la del núcleo, su resistencia es la mitad.

Puesto que están en serie, la resistencia total es la suma de ambas

$R = R_1+R_2 = 3R_2 =10.0\,\mathrm{m}\Omega$

la corriente que circula por el núcleo (y retorna por la corteza) es, de acuerdo con la ley de Ohm para un circuito

$I=\frac{\Delta V}{R}=\,\frac{3\,\mathrm{mV}}{10.0\,\mathrm{m}\Omega}=300\,\mathrm{mA}$

2.2 Densidad de corriente

Una vez que tenemos la intensidad de corriente, la densidad de corriente es inmediata, pues en el caso de un conductor homogéneo rectilíneo, la corriente se distribuye uniformemente por toda la sección transversal. Por tanto, tenemos:

Núcleo de cobre: La densidad de corriente va en el sentido de $+\mathbf{u}_z$ y su valor es

$\mathbf{J}_1=\frac{I}{S}\mathbf{u}_z = \frac{I}{\pi a^2}\mathbf{u}_z = 5960\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}\mathbf{u}_z$

Corteza exterior: La densidad de corriente va en el sentido opuesto a la anterior y su módulo es la mitad (al ser el doble la sección)

$\mathbf{J}_2=-\frac{I}{S}\mathbf{u}_z = \frac{I}{\pi (c^2-b^2)}\mathbf{u}_z = -2980\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}\mathbf{u}_z$

2.3 Campo eléctrico

El campo eléctrico lo podemos hallar a partir de la densidad de corriente, dividiendo por la conductividad

$\mathbf{E}=\frac{\mathrm{J}}{\sigma}$

y obtenemos

Núcleo de cobre

$\mathbf{E}_1=\frac{\mathbf{J}_1}{\sigma} = 0.1\,\frac{\mathrm{mV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_z$

Corteza exterior: La densidad de corriente va en el sentido opuesto a la anterior y su módulo es la mitad (al ser el doble la sección)

$\mathbf{E}_2=\frac{\mathbf{J}_2}{\sigma} = -0.05\,\frac{\mathrm{mV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_z$

Este campo también puede calcularse observando que, dado que $R 1 = 2 R 2$ la caída de tensión a lo largo del núcleo es

$\Delta V_1 = \frac{V_0 R_1}{R_1+R_2}=\frac{2}{3}V_0$

y por tanto, a lo largo del núcleo caen 2 mV y en la corteza cae 1 mV. Dividiendo esta caída de tensión por los 2 que mide el cable, obtenemos los campos anteriores.

3 Campo magnético

Corriente y campo de un cable coaxial

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Contenido

1 Enunciado

2 Corriente eléctrica

2.1 Intensidad de corriente

2.2 Densidad de corriente

2.3 Campo eléctrico

3 Campo magnético

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