Movimiento cicloidal

De Laplace

Revisión a fecha de 20:08 27 jun 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Un punto de un disco que rueda a velocidad constante sobre una superficie plana en $y = 0$ tiene por velocidad

$\vec{v}=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_O\right)$

donde

$\vec{v}_O=v_0\vec{\imath}$ $\vec{\omega}=-\omega\vec{k}$ $v_0=\omega R\,$

son la velocidad de traslación del centro del disco y la velocidad angular de rotación alrededor de él, respectivamente.

Halle la expresión de la velocidad en función de las coordenadas de un punto del disco y del tiempo.
Pruebe que las ecuaciones horarias

$x = v_0 t -R\,\mathrm{sen}(\omega t)$ $y = R(1-\cos(\omega t))\,$

son soluciones de las ecuaciones obtenidas en el primer apartado para un punto del borde del disco.

Para el movimiento anterior, calcule la velocidad y la aceleración instantáneas
Halle la celeridad instantánea, así como la ley horaria $s (t)$ para intervalo $0 < t < T$ con T el periodo de revolución del disco.
Determine las componentes intrínsecas de la aceleración, el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura para el mismo periodo anterior.

Velocidad en función de la posición

El centro del disco avanza uniformemente, de forma que su posición en cada instante es, tomando $y = 0$ como el plano de rodadura

$\vec{r}_O=v_0t\vec{\imath}+R\vec{\jmath}$

La posición de un punto cualquiera del disco es

$\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$

Sustituyendo en la expresión de la velocidad obtenemos

$\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_O)=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -\omega \\ (x-v_0t) & (y-R) & 0\end{matrix}\right|=(v_0+\omega(y-R))\vec{\imath} - \omega(x-v_0t)\vec{\jmath}$

Si separamos en componentes obtenemos, para las derivadas respecto al tiempo de cada componente