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Espiral logarítmica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación

\vec{r} = b (\cos(\theta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-\theta\,\mathrm{cotg}\,\alpha}

donde b y α son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante v0. En el instante inicial la partícula se encuentra en θ = 0

  1. Determine la ley horaria θ = θ(t).
  2. Calcule el tiempo que tarda en llegar a \vec{r}=\vec{0}. ¿Cuántas vueltas da para ello?
  3. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
  4. Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.

2 Ley horaria

Para hallar la ley horaria θ = θ(t) aplicamos que el movimiento es uniforme y por tanto

\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = |\vec{v}| = v_0

Sin embargo, lo que se nos da es la trayectoria como función de la coordenada θ y la velocidad no es la derivada de la posición respecto a θ, sino respecto al tiempo. Para relacionar las dos cosas aplicamos la regla de la cadena

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}

Aquí \dot{\theta} =\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t es una función que debemos determinar.

Tomando módulos

v_0= \left|\vec{v}\right|= \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|\dot{\theta}

Derivando en la ecuación de la trayectoria

\begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}& = & b(-\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+\cos\theta\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-\theta\,\mathrm{cotg}\,\alpha}-b\,\mathrm{cotg}\,\alpha(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-\theta\,\mathrm{cotg}\,\alpha}=\\ & = & b\left(-(\mathrm{sen}\,\theta+\,\mathrm{cotg}\,\alpha\cos\theta)\vec{\imath}+(\cos\theta-\,\mathrm{cotg}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,\theta)\vec{\jmath}\right)\mathrm{e}^{-\theta\,\mathrm{cotg}\,\alpha}\end{array}

Aplicando que

\,\mathrm{sen}\,\theta+\,\mathrm{cotg\alpha}\,\cos\theta = \frac{\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{sen}\,\alpha+\cos\theta\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha}=\frac{\cos(\theta-\alpha)}{\mathrm{sen}\,\alpha}

y que

(\cos\theta-\,\mathrm{cotg}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,\theta) = -\frac{\mathrm{sen}\,\theta\cos\alpha-\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\theta}{\mathrm{sen}\,\alpha}=-\frac{\mathrm{sen}(\theta-\alpha)}{\mathrm{sen}\,\alpha}

obtenemos finalmente

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta} = -\frac{b\mathrm{e}^{-\theta\,\mathrm{cotg}\,\alpha}}{\mathrm{sen}\,\alpha)\left(\cos(\theta-\alpha)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta-\alpha)\vec{\jmath}\right)

3 Tiempo en llegar al origen

4 Aceleración

5 Centros de curvatura

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Espiral_logar%C3%ADtmica"

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