Espiral logarítmica

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación

donde R y α son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante v₀. En el instante inicial la partícula se encuentra en θ = 0

1. Determine la ley horaria θ = θ(t).
2. Calcule el tiempo que tarda en llegar a . ¿Cuántas vueltas da para ello?
3. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
4. Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.

2 Ley horaria

Para hallar la ley horaria θ = θ(t) aplicamos que el movimiento es uniforme y por tanto

Sin embargo, lo que se nos da es la trayectoria como función de la coordenada θ y la velocidad no es la derivada de la posición respecto a θ, sino respecto al tiempo. Para relacionar las dos cosas aplicamos la regla de la cadena

3 Tiempo en llegar al origen

4 Aceleración

5 Centros de curvatura