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Esfera conductora sumergida en dieléctrico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una esfera conductora de radio a se encuentra conectada a una fuente de tensión de valor V0. La esfera se encuentra semisumergida en un líquido dieléctrico ideal de permitividad \varepsilon.

  1. Obtenga la expresión del potencial electrostático y del campo eléctrico en todo el espacio. Suponga que el potencial sólo depende de la distancia al centro de la esfera.
  2. Obtenga la expresión del vector desplazamiento en todo el espacio. Calcule la cantidad de carga libre en la esfera conductora.
  3. Determine las distribuciones de carga libre y de polarización que hay en el sistema descrito.
  4. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.
  5. Si, sin desconectar la fuente, se retira el líquido dieléctrico, ¿cuánto cambia la energía almacenada? ¿Cuánto trabajo realiza el generador?

2 Potencial y campo eléctrico

2.1 Planteamiento general

Con el fin de facilitar la descripción del sistema bajo estudio, adoptaremos un sistema de referencia cuyo origen O coincida con el centro de la esfera condutora de radio a, y cuyo OZ sea perpendicular a la superficie plana definida por la interfaz entre el vacío y el líquido dieléctrico lineal de permitividad dieléctrica \displaystyle \varepsilon. De esta forma, la superficie \partial\mathrm{C} de la esfera conductora y la interfaz Σ entre los dieléctricos estarán descritas en coordenadas esféricas por las expresiones
\partial \mathrm{C}:\ r=a;           \Sigma: \theta=\frac{\pi}{2}\;\; (r>a)

Asumiendo que el sistema se halla en equilibrio electrostático cuando la esfera conductora está conectada a la fuente de tensión constante, se tendrá que el campo eléctrico \mathbf{E}(\mathbf{r}) es irrotacional y deriva, por tanto de un potencial electrostático \phi(\mathbf{r}),

\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{E}=-\nabla\phi

Además, tanto si el conductor consiste en una esfera conductora maciza, o bien presenta huecos (pero sin carga eléctrica en su interior), el campo eléctrico en toda la región r < a debe ser nulo. En consecuencia, el potencial va a ser constante, y como este campo escalar debe ser continuo, el valor del potencial en el interior de la esfera conductora va a ser igual al que tiene en \partial\mathrm{C}, que es superficie equipotencial de valor V0, fijado por la fuente. Por otra parte, considerando que el interior de la esfera (maciza o hueca) es un medio lineal que se comporta como un conductor ideal, se tendrá que el vector desplazamiento es también nulo en dicha región:

\mathbf{E}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\phi(|\mathbf{r}|<a)=\phi(|\mathbf{r}|=a^+)=V_0\mathrm{;}\qquad\mathbf{D}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}

Este resultado está directamente relacionado con la ausencia de carga eléctrica neta (libre o de polarización) en los puntos del interior de la esfera; sin embargo, en la superficie conductora \partial\mathrm{C}, sí van a existir distribuciones de carga eléctrica, vinculadas a la discontinuidad de la componente normal del campo eléctrico sobre dicha superficie. Y es que entre la superficie de la esfera (a potencial V0) y el infinito (donde \phi(\mathbf{r}) se anula), existe un gradiente de potencial y, en consecuencia, un campo eléctrico \mathbf{E}(\mathbf{r}). Las fuentes escalares de este campo serán las distribuciones de carga eléctrica (libres y de polarización) existentes en la superficie de la esfera conductora, así como las cargas de polarización que pudiese haber en la región ocupada por el líquido dieléctrico. Obsérvese que si éste es un dieléctrico ideal, no puede contener cargas libres; por otra parte, en el semiespacio vacío no va a existir ningún tipo de carga eléctrica.

2.2 Ecuación para el potencial

En el espacio exterior a la esfera conductora , ocupado por sendos medios que presentan comportamiento dieléctrico lineal, las ecuaciones que determinan los campos electrostáticos y la relación constitutiva que los relaciona son

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_l(\mathbf{r})        \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}        \mathbf{D}(\mathbf{r})=\varepsilon(\mathbf{r}) \mathbf{E}(\mathbf{r})

donde ρl es la densidad volumétrica de carga eléctrica libre y \varepsilon(\mathbf{r}) es la permitividad dieléctrica del medio dieléctrico. Según se discutió en el apartado anterior, no puede haber carga eléctrica libre en la región exterior a la esfera conductora(r > a); además, dicha región puede considerarse como un medio inhomogéneo formado por el semiespacio vacío y el ocupado por el líquido dieléctrico. Por tanto, se tendrá que

\displaystyle\rho_l(r>a)=0        \varepsilon(\mathbf{r})=\left\{\begin{array}{l}\varepsilon_0\mathbf{;}\;\; r>a\quad\mathbf{y}\quad 0\le\theta<\pi/2\\ \\ \varepsilon\mathbf{;}\;\; r>a\quad\mathbf{y}\quad\pi/2<\theta\le\pi\end{array}\right.


\nabla\cdot\mathbf{D}=0\,

La condición de que el campo electrostático es irrotacional implica que deriva de un potencial

\mathbf{E}=-\nabla\phi\,

Sustituyendo esta relación y la ley constitutiva en la ley de Gauss para cada región queda

\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\phi)=0

2.3 Potencial eléctrico

2.4 Campo eléctrico

3 Vector desplazamiento y carga libre

4 Distribuciones de carga

5 Energía almacenada

6 variación de energía y trabajo del generador

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Esfera_conductora_sumergida_en_diel%C3%A9ctrico"

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