Campos en un condensador en CA

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separadas una distancia a (); entre ellas hay vacío. Entre los centros de las placas se establece una tensión V₀cosωt.

1. Halle, en primera aproximación, el campo eléctrico que se establece entre las placas.
2. Determine el campo magnético inducido en el espacio entre las placas, según la ley de Ampère-Maxwell.
3. Calcule, la primera corrección en el campo eléctrico obtenido en (1), de acuerdo con la ley de Faraday. ¿Para qué valor del radio empieza a ser importante esta corrección (esto es, comparable al campo estático)?
4. Indique como serían las siguientes correcciones, tanto en como en .

2 Solución

Éste es el típico problema que se plantea a la hora de estudiar las limitaciones de la teoría de circuitos. Por ello, suele aparecer en casi todos los libros de texto.

La idea es resolver las ecuaciones de Maxwell a base de correcciones sucesivas, en lugar de intentar resolverlas completamente de entrada, esto es, se trata de obtener un \emph{desarrollo perturbativo}. Veámoslo paso a paso.

2.1 Campo eléctrico

Si admitimos que ambas placas son perfectamente conductoras el campo eléctrico en el interior de las mismas es estrictamente nulo y, en primera aproximación, las superficies son equipotenciales. Si despreciamos los efectos de borde, el campo en todos los puntos entre las placas es el mismo e igual a

2.2 Campo magnético

2.3 Corrección al campo eléctrico

2.4 Correcciones sucesivas