Potencia y energía en una onda

De Laplace

Revisión a fecha de 00:52 23 mar 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Energía almacenada
3 Potencia
- 3.1 Onda sinusoidal
- 3.2 Onda triangular

1 Introducción

Una onda suele definirse en términos como una “transmisión de energía sin transmisión de materia”. Esta definición, aunque un tanto imprecisa y no lo bastante general (ya que no incluye, por ejemplo, a las ondas estacionarias), sí expresa un hecho cierto: una onda viajera transmite energía desde el punto en que se origina hasta el punto al que llega, actuando como mecanismo para la “acción a distancia”.

Un cierto agente desarrolla una potencia al emitir una onda (sea ésta en una cuerda, de sonido, electromagnética o de otro tipo), esta potencia se manifiesta en una cierta densidad de energía que se propaga a lo largo de la onda y es entregada en el punto de destino a través de la potencia desarrollada por el propio medio de propagación (por ejemplo, la fuerza que ejerce una cuerda sobre un sistema situado en su extremo final.

Esta propagación es simultánea al almacenamiento de energía. La energía se propaga gracias a que en todo momento hay una cierta energía almacenada a lo largo del medio. En particular, en las ondas estacionarias tenemos almacenamiento de energía sin propagación.

A continuación nos centraremos en el caso particular de la cuerda tensa, con especial atención a las ondas sinusoidales, aunque muchos de los resultados son generalizables a otros tipos de ondas.

2 Energía almacenada

2.1 Energía cinética

La energía cinética almacenada en un instante dado en una longitud dada de la cuerda es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas que la forman.

Si dividimos la cuerda en porciones de longitud $d x$ , la masa de cada porción es

$\mathrm{d}m =\mu\,\mathrm{d}x$

con $μ$ la densidad lineal de masa. La energía cinética de esta pedazo será

$\mathrm{d}K=\frac{1}{2}\mathrm{d}m\,v^2 = \frac{1}{2}\mu\,\mathrm{d}x\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2$

Integrando obtenemos la energía cinética almacenada en una porción de cuerda

$K = \frac{1}{2}\int_0^L \mu \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\,\mathrm{d}x$

2.1.1 Onda viajera sinusoidal

Aplicando la ecuación anterior a una longitud de onda de una onda viajera

$y = A \cos(\omega t - k x)\,$

obtenemos la energía cinética de una porción de cuerda

$\mathrm{d}K = \frac{1}{2}\mu A^2\omega^2\mathrm{sen}^2(\omega t - k x)\,\mathrm{d}x$

y la integral sobre una longitud de onda

$K = \int_0^\lambda \mathrm{d}K = \frac{1}{2}\mu A^2\omega^2\int_0^\lambda \mathrm{sen}^2(\omega t - k x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\mu A^2\omega^2\int_0^\lambda(1-\cos(2\omega t - 2k x))\,\mathrm{d}x$

donde hemos usado la fórmula del ángulo doble

$\mathrm{sen}^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$

Resultan dos integrales, la primera de las cuales vale simplemente $λ$ , mientras que la segunda es una integral de $cos(s)$ sobre dos periodos, por lo que se anula. Por tanto

$K = \frac{1}{4}\mu\omega^2 A^2\lambda$

Lo más importante de este resultado es que resulta una función cuadrática en la amplitud, esto es, a doble amplitud corresponde cuádruple energía.

Una cantidad derivada de esta es la densidad de energía cinética, obtenida suponiendo que la energía cinética se reparte uniformemente sobre la longitud de onda (lo cual es cierto solo en promedio).

$\frac{K}{\lambda} = \frac{1}{2}\mu \omega^2 A^2$

Esta densidad de energía no solo es cuadrática en en la amplitud, sino también la frecuencia.

2.1.2 Onda estacionaria sinusoidal

De forma análoga se calcula la energía cinética de la onda estacionaria

$y = A \cos(\omega t)\cos(k x)\,$

y resulta

$K = \frac{1}{2}\mu\omega^2 A^2\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\int_0^\lambda \cos^2(k x)\,\mathrm{d}x= \frac{\lambda}{4}\mu \omega^2 A^2 \,\mathrm{sen}^2(\omega t)$

A diferencia del caso de la onda viajera, para el cual la energía cinética permanece constante en el tiempo, en la onda estacionaria resulta una cantidad oscilante. La razón es que para una onda viajera en una longitud de onda hay en todo momento puntos con velocidad máxima y puntos en reposo, y todas las posibilidades intermedias. En una onda estacionaria todos los puntos oscilan al unísono de forma que en un instante todos tienen la velocidad máxima (y la energía cinética es máxima), y en otro están todos en reposo (y la energía cinética es nula).

2.1.3 Onda triangular

Consideremos ahora el caso de un pulso triangular

$y = f(x-vt)\qquad f(s) = \begin{cases} 0 & s < -a \\ h(a+s)/a & -a < s < 0 \\ h(a-s)/a & 0 < s < a \\ 0 & s > a\end{cases}$

y vamos a calcular la energía almacenada en toda la longitud de la onda (desde −&infty; hasta +&infty;)

2.2 Energía potencial

2.2.1 Onda sinusoidal

2.2.2 Onda triangular

2.3 Energía total

3 Potencia

3.1 Onda sinusoidal

3.2 Onda triangular

Potencia y energía en una onda

De Laplace

Contenido

1 Introducción

2 Energía almacenada

2.1 Energía cinética

2.1.1 Onda viajera sinusoidal

2.1.2 Onda estacionaria sinusoidal

2.1.3 Onda triangular

2.2 Energía potencial

2.2.1 Onda sinusoidal

2.2.2 Onda triangular

2.3 Energía total

3 Potencia

3.1 Onda sinusoidal

3.2 Onda triangular

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