Oscilaciones forzadas
De Laplace
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1 Introducción
Un oscilador armónico amortiguado es aquel que, en adición a la fuerza recuperadora dada por la ley de Hooke, experimenta una fuerza de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad.
Si este oscilador se mueve a lo largo de una recta, la segunda ley de Newton se reduce a
Si este oscilador amortiguado se encuentra sometido a una fuerza externa adicional, en general dependiente del tiempo, se dice que el oscilador está forzado, siendo su ecuación de movimiento
De entre los posibles tipos de fuerza que se pueden aplicar, la más importante desde el punto de vista físico, es aquella que en sí misma es oscilante, esto es
donde la frecuencia de oscilación de la fuerza no tiene por qué coincidir con la frecuencia propia del oscilador armónico
2 Solución estacionaria sinusoidal
Si escribimos la ecuación de movimiento expresando la velocidad y la aceleración como derivadas de la posición nos queda la ecuación
El problema general consiste en determinar la elongación como función del tiempo, x(t) para una posición y velocidad iniciales.
Antes de exponer la solución general, que se explica al final de este artículo, vamos a describir la solución particular más importante, que es la que se denomina estado estacionario sinusoidal, en la cual la elongación oscila con la misma frecuencia que la fuerza oscilante (no con su frecuencia propia, ω0):
El problema, para esta solución particular consiste en determinar la amplitud de las oscilaciones, A, así como su desfase respecto a la fuerza aplicada φ.
Esta solución es importante, porque se demuestra que, cualesquiera que sean las condiciones iniciales, el sistema termina por oscilar con esta solución particular.
2.1 Posición
La forma más sencilla de determinar la solución estacionaria sinusoidal es mediante el uso de fasores. La fuerza aplicada puede escribirse, con ayuda de la fórmula de Euler, como
donde
es el fasor, o amplitud compleja, de la fuerza. Es una cantidad compleja cuyo módulo nos da la amplitud de las oscilaciones (F0 en este caso) y cuyo argumento nos da el desfase (nulo, en este caso).
En la solución estacionaria sinusoidal, la elongación admite una expresión análoga
donde ahora
Este fasor contiene tanto la amplitud como la fase de la solución, por lo que si determinamos el fasor, ya hemos resuelto nuestro problema.
La ventaja de usar fasores es que transforma las derivadas en multiplicaciones. La velocidad y la aceleración pueden expresarse también en forma fasorial, siendo sus amplitudes complejas
