Teorema de las fuerzas vivas

De Laplace

Revisión a fecha de 17:44 15 feb 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Trabajo y potencia
2 Teorema de la fuerzas vivas
3 Ejemplos
- 3.1 Trabajo realizado por el peso

1 Trabajo y potencia

Se define el trabajo elemental realizado por una fuerza $\mathbf{F}$ sobre una partícula que realiza un desplazamiento diferencial $\mathrm{d}\mathbf{r}$ como la cantidad escalar

$\delta W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

A partir de aquí obtenemos el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C como la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

$W_{A\to B} = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \delta W = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

Igualmente, se define la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo $d t$ , dividido por dicho intervalo

$P = \frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$

2 Teorema de la fuerzas vivas

Aplicando la segunda ley de Newton la potencia desarrollada por una fuerza puede escribirse como la derivada respecto al tiempo de la energía cinética

$P = \mathrm{m}\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}= m\mathbf{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}$

siendo K la energía cinética de la partícula

$K = \frac{1}{2}mv^2$

(donde $v^2 = \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$ es el módulo de la velocidad, o celeridad, al cuadrado).

Integrando respecto al tiempo obtenemos el teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética):

$W_{A\to B}=\int_A^B P\,\mathrm{d}t=\Delta K = K_B-K_A$

En palabras:

“El trabajo realizado sobre una partícula entre dos puntos equivale al incremento de la energía cinética de dicha partícula.”

El trabajo realizado no tiene por qué ser necesariamente positivo. Si la partícula se ve frenada, su energía cinética disminuye y el trabajo resultante es negativo.

Este teorema implica, entre otras resultados, que una partícula sometida a una fuerza puramente normal en todo momento (como es la fuerza magnética $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ ) mantiene constante su energía cinética y por tanto se mueve de manera uniforme (aunque la dirección de movimiento sea cambiante).

3 Ejemplos

3.1 Trabajo realizado por el peso

Supongamos una partícula que cae por acción de la gravedad desde una altura $h$ hasta el suelo. Se trata de averiguar con que velocidad impacta con el suelo si inicialmente estaba en reposo. Una posibilidad es, por supuesto, emplear la solución del problema como función del tiempo, pero no es necesario.

El trabajo realizado por el peso es la integral

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): W_{h\to 0}=\int_h^0 (-mg\mathbf{k})\cdot(\mathrm{d}z\mathbf{k}}= -\int_h^0 mg\,\mathrm{d}z = mgh

Este trabajo es igual al incremento de energía cinética. Puesto que la energía cinética inicial es nula, este valor es igual a la energía final