Fasor

De Laplace

Revisión a fecha de 10:12 10 feb 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Fórmula de Euler

Existe una forma expresar el movimiento armónico simple. La fórmula de Euler establece una relación entre la exponencial de un número imaginario y las funciones trigonométricas

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}x} = \cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)$ $\mathrm{j}=\sqrt{-1}$

o, equivalentemente,

$\cos(x) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)$ $\mathrm{sen}(x) = \mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)$

2 Vectores rotatorios

Si consideramos que el exponente en la fórmula de Euler es proporcional al tiempo, el resultado es un vector rotatorio en el plano complejo $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} = \cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\omega t)$

La parte real de este número complejo rotatorio, esto es, su proyección sobre el eje de abscisas, representa una oscilación cosenoidal. La parte imaginaria oscila igualmente, pero como un seno, esto es, desfasada un cuarto de periodo.

3 Amplitudes complejas (fasores)

La solución general del movimiento armónico simple, en función de las condiciones iniciales, es

$x = x_0\cos(\omega t) + b\,\mathrm{sen}(\omega t)=x_0\cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)$

y, en función de la amplitud y la fase

$x = A\cos(\omega t+\phi)\,$ $A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}$ $\phi=-\mathrm{arctg}\frac{b}{a}=-\mathrm{arctg}\frac{v_0}{\omega x_0}$

Aplicando esta relación a la solución general del M.A.S. obtenemos

$x = A \cos(\omega t + \varphi) = \mathrm{Re}\left(A \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi)}\right) = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$

donde

$\tilde{x}=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}$

es la llamada amplitud compleja o fasor de la variable $x$ . Es un número complejo cuyo módulo es la amplitud del movimiento y cuyo argumento es la constante de fase.

El movimiento armónico simple se puede ver entonces como la proyección sobre el eje real de un vector que gira en el plano complejo y cuyo valor en el instante $t = 0$ es la amplitud compleja $\tilde{x}$