Fasor

De Laplace

Revisión a fecha de 18:30 9 feb 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Fórmula de Euler

Existe una forma expresar el movimiento armónico simple. La fórmula de Euler establece una relación entre la exponencial de un número imaginario y las funciones trigonométricas

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}x} = \cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)$ $\mathrm{j}=\sqrt{-1}$

o, equivalentemente,

$\cos(x) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)$ $\mathrm{sen}(x) = \mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)$

2 Vectores rotantes

Aplicando esta relación a la solución general del M.A.S. obtenemos $x = A \cos(\omega t + \varphi) = \mathrm{Re}\left(A \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi)}\right) = \mathrm{Re}\left(\tilde{A}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$

donde

$\tilde{A}=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}$

es la llamada amplitud compleja o fasor de la variable $x$ . Es un número complejo cuyo módulo es la amplitud del movimiento y cuyo argumento es la constante de fase.

3 Amplitudes complejas

Aplicando de nuevo la fórmula de Euler obtenemos la parte real y la imaginaria del fasor

$\tilde{A}= A\cos(\varphi)+\mathrm{j}A\,\mathrm{sen}(\varphi)=a+\mathrm{j}b=x_0+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{j}$

esto es, la amplitud compleja queda completamente determinada por las condiciones iniciales. Vemos que el vector de componentes $a$ y $b$ que definimos anteriormente no es más que la representación del fasor en el plano complejo.

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