Líneas de campo

De Laplace

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Contenido

1 Definición
2 Campo uniforme
3 Campo central
4 Enlaces

1 Definición

Dado un campo vectorial $\mathbf{E}(\mathbf{r})\,$ , sus líneas de campo son las curvas que en cada punto son tangentes al valor del campo en dicho punto.

Matemáticamente, si $\mathbf{r}\,$ es un punto de una línea de campo, y $\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}\,$ es el siguiente punto a lo largo de la misma línea, se cumple que

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \mathfm{d}\mathbf{r}\parallel \mathbf{E}

Dos vectores son paralelos cuando son proporcionales, esto es

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \mathfm{d}\mathbf{r}=\mathbf{E}\,\mathrm{d}t

donde la constante de proporcionalidad debe ser diferencial, pues $\mathrm{d}\mathbf{r}\,$ es un vector de módulo diferencial y $\mathbf{E}\,$ no lo es. Podemos escribir esta relación como una ecuación diferencial

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{E}(\mathbf{r})$

Podemos leer esta ecuación como que nos movemos a lo largo de la línea con una velocidad dada por el valor del campo en cada punto. El parámetro $t\,$ no es el tiempo, pero para interpretar los resultados podemos imaginárnoslo como tal

Esta ecuación diferencial es vectorial, lo cual quiere decir que en realidad contiene tres ecuaciones escalares acopladas, por ejemplo, en cartesianas

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = E_x(x,y,z)$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = E_y(x,y,z)$ $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = E_z(x,y,z)$

El que las ecuaciones sean acopladas implica que no pueden resolverse sucesivamente. Para hallar $x(t)\,$ precisamos de $y(t)\,$ y $z(t)\,$ y viceversa. Por ello, en pocas ocasiones pueden determinarse analíticamente las ecuaciones de las líneas de campo, incluso en casos sencillos. Numéricamente, en cambio, suele ser un ejercicio sencillo.