1 Enunciado

Un mono de masa $m 0$ cuelga de una cuerda ideal inextensible y sin masa, que está enrollada en una polea de radio $R$ . En el otro extremo de la cuerda hay un racimo de plátanos que tienen la misma masa $m 0$ del mono. Los plátanos están por encima del mono, como se indica en la figura. Éste los ve y comienza a trepar por la cuerda para intentar alcanzarlos.

Supongamos que la masa de la polea es despreciable. ¿Consigue el mono atrapar los platanos antes de que estos alcancen la altura de la polea?
Supongamos ahora que la polea es un aro con masa $M$ . En el instante inicial los plátanos están a una distancia $L$ de la altura de la polea y el mono a una distancia $2 L$ . El mono sube la cuerda con velocidad $v 0$ respecto a la polea. ¿Que condición debe cumplir $M$ para que el mono pueda alcanzar los plátanos antes de que estos lleguen a la polea?

2 Solución

2.1 Polea sin masa

Consideramos que el mono y el racimo de plátanos forman un sistema de dos partículas. El sistema se puede modelar con la figura de la derecha, con las masas $m$ (el mono) y $p$ (los plátanos), ambos de la misma magnitud $m_0$. El momento angular de este sistema respecto al centro de la polea es

$\vec{L}_O = \vec{L}_O^m + \vec{L}_O^p.$

El momento angular del mono es

$\begin{array}{ll} \vec{L}_O^m & = \vec{r}_m\times(m_o\vec{v}_m) = m_0R\dot{x}_m\,\vec{k}\\ & \vec{r}_m = x_m\,\vec{\imath} - R\,\vec{\jmath}\\ & \vec{v}_m = \dot{\vec{r}}_m = \dot{x}_m\,\vec{\imath} \end{array}$

El momento angular del racimo de plátanos es

$\begin{array}{ll} \vec{L}_O^p & = \vec{r}_p\times(m_o\vec{v}_p) = -m_0R\dot{x}_p\,\vec{k}\\ & \vec{r}_p = x_p\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath}\\ & \vec{v}_p = \dot{\vec{r}}_p = \dot{x}_p\,\vec{\imath} \end{array}$

Por tanto, el momento angular total es

$\vec{L} = m_0R\,(\dot{x}_m-\dot{x}_p)\,\vec{k}$

Como se observa en el dibujo, las únicas fuerzas externas que actúan sobre el sistema de dos partículas son sus pesos.

$\vec{P}_m = m_0g\,\vec{\imath}, \qquad \vec{P}_p = m_0g\,\vec{\imath}$

Las fuerzas que ejerce la cuerda no cuentan en la evolución del momento angular total pues son fuerzas internas. Aplicando el T.M.C. en el punto $O$ tenemos

$\begin{array}{ll} \dfrac{\mathrm{d} \vec{L}_O}{\mathrm{d} t} = & \vec{M}_O = \vec{r}_m\times\vec{P}_m + \vec{r}_p\times\vec{P}_p = \vec{0}\\ & \vec{r}_m\times\vec{P}_m = (x_m\,\vec{\imath} - R\,\vec{\jmath})\times (m_0g\,\vec{\imath}) = -m_0Rg\,\vec{k}\\ & \vec{r}_p\times\vec{P}_p = (x_p\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath})\times (m_0g\,\vec{\imath}) = m_0Rg\,\vec{k} \end{array}$

Es decir, $\vec{L}_O$ es constante durante todo el proceso. Pero en el instante inicial era nulo, pues tanto el mono como los plátanos estaban en reposo. Entonces es nulo en todo instante y por tanto