Cinco resistencias iguales

De Laplace

Revisión a fecha de 13:31 16 abr 2020; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Primer caso
4 Segundo caso
5 Tercer caso

1 Enunciado

Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra.
En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra.
En A se conecta una fuente de 24mV, B y C se conectan a tierra.
En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de 6mV y B se conecta a tierra.
En A se conecta una fuente de 24mV, en B una de −24mV y C se conecta a tierra.
En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de −24mV y B se conecta a tierra.

2 Introducción

Este problema se puede resolver de forma general, dando como resultado una expresión matricial para las corrientes que entran por A, B y C en función de los voltajes de estos nodos. Más adelante se describe esta solución general, aplicable a todos los apartados del problema.

Aparte de este caso general, muchos casos particulares pueden simplificarse aplicando asociaciones en serie y en paralelo de resistencias.

3 Primer caso

En el primer caso, el nodo C está abierto, es decir, no tiene fuente conectada, por lo que por C no entra ni sale corriente.

En este caso, al ser todas las resistencias iguales y tener simetría, el voltaje en el nodo C será la media entre el del A y el B.

Lo mismo ocurre con el nodo D, que sería el superior.

Esto hace que entre C y D no haya diferencia de potencial y por tanto, por la rama central no circule corriente.

El sistema se reduce entonces a dos ramas en paralelo, ya que la resistencia central es como si no estuviera. La rama superior, pasando por D, tiene resistencia 2R, y la rama inferior, pasando por C, tiene también resistencia 2R, siendo $R = 12\,\Omega$ .

La resistencia equivalente del conjunto es

$R_\mathrm{eq}=\frac{(2R)(2R)}{2R+2R}=R=12\,\Omega$

y por tanto la intensidad que entra por A (y sale por B) vale

$I_A=\frac{V_A-V_B}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{12\,\Omega}=2\,\mathrm{mA}$

y, para los otros dos terminales

$I_C=0\qquad\qquad I_B=-I_A=-2\,\mathrm{mA}$

4 Segundo caso

En el segundo caso tenemos

$V_A=24\,\mathrm{mV}\qquad\qquad V_C=0\qquad\qquad I_B=0$

Este caso también se puede reducir a asociaciones en serie y en paralelo, aunque ya no hay simetría.

Para ir de A (entrada de la corriente) a C (salida de la corriente) hay dos caminos en paralelo. Uno va directo y tiene resistencia R. El otro va pasando por D y está formado por dos elementos en serie: una resistencia R y una asociación en paralelo de una resistencia R y una resistencia 2R. El esquema se puede reescribir de esta forma:

La resistencia equivalente de la rama superior es

$R_2 = R + \frac{R\cdot 2R}{R+2R} = R+ \frac{2}{3}R=\frac{5}{3}R=20\,\Omega$

de manera que la resistencia equivalente del conjunto es

$R_\mathrm{eq}=\frac{(5R/3)R}{(5R/3)+R}=\frac{5}{8}R=7.5\,\Omega$

siendo la corriente que entra por A

$I_A=\frac{V_A-V_C}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{7.5\,Omega}=3.2\,\mathrm{mA}$

y, para los otros dos terminales

$I_C=-3.2\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_B=0\,\mathrm{mA}$

5 Tercer caso

Al poner los terminales B y C a tierra, estamos cortocircuitando la resistencia que entre estos dos nodos, ya que al estar al mismo potencial ya no circula corriente por ella.

Ahora el sistema se reduce a