Cinco resistencias iguales

De Laplace

1 Enunciado

Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

1. En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra.
2. En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra.
3. En A se conecta una fuente de 24mV, B y C se conectan a tierra.
4. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de 6mV y B se conecta a tierra.
5. En A se conecta una fuente de 24mV, en B una de −24mV y C se conecta a tierra.
6. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de −24mV y B se conecta a tierra.

2 Introducción

Este problema se puede resolver de forma general, dando como resultado una expresión matricial para las corrientes que entran por A, B y C en función de los voltajes de estos nodos. Más adelante se describe esta solución general, aplicable a todos los apartados del problema.

Aparte de este caso general, muchos casos particulares pueden simplificarse aplicando asociaciones en serie y en paralelo de resistencias.

3 Primer caso

En el primer caso, el nodo C está abierto, es decir, no tiene fuente conectada, por lo que por C no entra ni sale corriente.

En este caso, al ser todas las resistencias iguales y tener simetría, el voltaje en el nodo C será la media entre el del A y el B.

Lo mismo ocurre con el nodo D, que sería el superior.

Esto hace que entre C y D no haya diferencia de potencial y por tanto, por la rama central no circule corriente.

El sistema se reduce entonces a dos ramas en paralelo, ya que la resistencia central es como si no estuviera. La rama superior, pasando por D, tiene resistencia 2R, y la rama inferior, pasando por C, tiene también resistencia 2R, siendo .

La resistencia equivalente del conjunto es

y por tanto la intensidad que entra por A (y sale por B) vale

y, para los otros dos terminales

4 Segundo caso

En el segundo caso tenemos

Este caso también se puede reducir a asociaciones en serie y en paralelo, aunque ya no hay simetría.

Para ir de A (entrada de la corriente) a C (salida de la corriente) hay dos caminos en paralelo. Uno va directo y tiene resistencia R. El otro va pasando por D y está formado por dos elementos en serie: una resistencia R y una asociación en paralelo de una resistencia R y una resistencia 2R. El esquema se puede reescribir de esta forma:

La resistencia equivalente de la rama superior es

de manera que la resistencia equivalente del conjunto es

siendo la corriente que entra por A

y, para los otros dos terminales