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Campo eléctrico central (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la expresión

\vec{E}=\left\{\begin{array}{rcc}E_0 \left(\dfrac{r}{b}\right)^2 \vec{u}_r& &(r<b)\\ && \\ E_0 \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 \vec{u}_r& &(r>b)\end{array}\right.
  1. ¿Cuánto vale la carga total almacenada en el sistema?
  2. ¿Cuánto vale la densidad de carga ρ = ρ(r)?
  3. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
  4. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

2 Carga total

2.1 A partir del flujo

Para conocer la carga total poremos aplicar la ley de Gauss

Q_\mathrm{int}=\varepsilon_0\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

Puesto que queremos hallar la carga total, la superficie de integración debe ser una que contenga toda la carga. Esta superficie es una esfera cuyo radio tiende a infinito. Por tanto

Q_T=\lim_{R\to\infty}\varepsilon_0\oint_{r=R} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

Sobre una superficie esférica de gran radio

\vec{E} =E(r)\vec{u}_r\qquad\mathrm{d}\vec{S}=\mathrm{d}S\,\vec{u}_r\qquad\Rightarrow\qquad\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=E(r)\,\mathrm{d}S

Puesto que el integrando tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie

\oint_{r=R} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_{r=R} E(r)\,\mathrm{d}S=E(R)S=4\pi R^2 E(R)

y por tanto la carga total es

Q_T=\lim_{R\to infty}\varepsilon_0(4\pi R^2)E_0\left(\frac{b}{R}\right)^2=4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0

2.2 Identificando el campo

Podemos llegar directamente a este resultado observando que para r > b el campo es de la forma

\vec{E}=\frac{R_0b^2}{r^2}\vec{u}_r

es decir:

  • es radial
  • depende solo de la distancia al origen
  • va como la inversa del cuadrado de la distancia al origen

Estas propiedades lo identifican como el campo de una carga puntual

\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\vec{u}_r

Igualando los coeficientes

E_0 b^2 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad Q_T=4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0

3 Densidad de carga

4 Potencial eléctrico en el origen

4.1 Integrando el campo

4.2 Por integración directa

5 Energía almacenada

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Campo_el%C3%A9ctrico_central_(GIOI)"

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