Campo de un hilo infinito (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

A partir del resultado anterior, halle el campo eléctrico creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo cargado con una densidad homogénea λ₀.

Este campo puede también hallarse mediante la ley de Gauss. ¿Cómo se llega en ese caso al resultado?

2 Por integración directa

Podemos calcular el campo de un hilo infinito a partir del de un segmento considerando el límite en que la longitud de éste se hace infinita. En términos del ángulo de elevación α₀ equivale a hacer

Esta expresión está particularizada para el caso de que el punto donde medimos el campo esté situado sobre el eje OX. La generalización a un punto arbitrio es inmediata.

Para un punto cualquiera, sustituimos x por la distancia al eje OZ (o, aun más en general, la línea donde se halla el hilo de carga). Empleando coordenadas cilíndricas, equivale sustituir x por ρ = (x² + y²)^{1 / 2}.

Además debemos dar la dirección del campo. En el caso del eje OX, es el unitario en el sentido de x creciente, esto es, el que se aleja en línea recta del eje OX. La generalización a cualquier punto consiste en sustituir por el unitario radial .

Por tanto, la expresión del campo creado por un hilo cargado uniformemente es, en cualquier punto del espacio,

Podemos expresar este resultado en la base cartesiana como

3 Por la ley de Gauss