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No Boletín - Eje central (Ex.Ene/19)

De Laplace

1 Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento instantáneo. La velocidad angular es \vec{\omega}=(2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}\,, la velocidad de deslizamiento (segundo invariante) es v_d=-2\,\,\mathrm{m/s}\,, y la velocidad del punto A(2,1,2)\,\,\mathrm{m}\, es \vec{v}_{\! A}=(v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m/s}\,.

  1. ¿Cuánto vale la componente x\, de la velocidad del punto A\,?
  2. ¿Cuál es el valor (en \mathrm{m/s}\,) de la velocidad de los puntos del eje central del campo de velocidades?
  3. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a dicho eje central?
B\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, C\left(\displaystyle\frac{8}{3},0,-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, D\left(0,-\displaystyle\frac{8}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, E\left(\displaystyle\frac{4}{3},\displaystyle\frac{4}{3},0\right)\,\mathrm{m}

2 Componente x de la velocidad del punto A

La velocidad de deslizamiento v_d\, (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular. Por tanto, conocidas la velocidad de deslizamiento v_d\,, la velocidad angular \vec{\omega}\, y dos componentes de la velocidad \vec{v}_{\! A}\,, es posible deducir la componente de \vec{v}_{\! A}\, que falta a partir de la definición de la velocidad de deslizamiento:

v_d=\frac{\vec{v}_{\! A}\cdot\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(\,v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\cdot(\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)}{|\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,|}=\frac{2\,v_x+10}{3}=-2\,\,\mathrm{m/s}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,v_x=-8\,\,\mathrm{m/s}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Eje_central_(Ex.Ene/19)"

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