Campo de un imán anular

De Laplace

Revisión a fecha de 16:40 14 abr 2018; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Corrientes equivalentes
3 El campo de una espira circular
4 El campo de dos espiras concéntricas
5 El campo de un imán anular
6 Imán que cae alrededor de un tubo

1 Introducción

2 Corrientes equivalentes

3 El campo de una espira circular

Para obtener el campo magnético de una espira consideramos en primer lugar su potencial vector. Posteriormente, mediante el rotacional, podemos hallar el campo magnético.

De acuerdo con la fórmula de Neuman para una espira

$\vec{A}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint \frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|}$

Por la simetría del sistema, tomamos coordenadas cilíndricas. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el punto $\vec{r}$ se halla sobre el plano OXZ de manera que

$\vec{r}=\rho\vec{\imath}+z\vec{k}\qquad\qquad \vec{r}^{\,\prime}=b(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath})\qquad\qquad |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{\rho^2+b^2-2\rho b\cos(\theta')+z^2}$

siendo el diferencial de camino

$\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}=b(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath})\mathrm{d}\theta'$

llevamos esto a la fórmula del potencial vector y queda

$A_x=-\frac{\mu_0Ib}{4\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'}{\sqrt{\rho^2+b^2-2\rho b\cos(\theta')+z^2}}$

y

$A_y=\frac{\mu_0Ib}{4\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'}{\sqrt{\rho^2+b^2-2\rho b\cos(\theta')+z^2}}$

La primera de las dos integrales se anula, por tratarse de la integral de una función impar sobre un intervalo par. Para la segunda, aprovechando la simetría, podemos reducirla a

$A_y=\frac{\mu_0Ib}{2\pi}\int_{0}^\pi \frac{\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'}{\sqrt{\rho^2+b^2-2\rho b\cos(\theta')+z^2}}$

Introducimos aquí el ángulo mitad

$\cos(\theta')=2\cos^2(u)-1\qquad\qquad \mathrm{d}\theta=2\,\mathrm{d}u\qquad\qquad u\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

y nos queda

$A_y=\frac{\mu_0Ib}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} \frac{(2\cos^2(u)-1)\mathrm{d}u}{\sqrt{(\rho+b)^2+z^2-4\rho b\cos^2(u)}}$

Nuestro objetivo aquí es llegar a las integrales elípticas completas de primera y segunda especie, E y K

$\mathrm{E}(m)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-m\cos^2(u)}\,\mathrm{d}u\qquad\qquad \mathrm{K}(m)=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-m\cos^2(u)}}\,\mathrm{d}u$

Definimos

$m = \frac{4\rho b}{(\rho+b)^2+z^2}$

y el potencial vector se expresa

$A_y=\frac{\mu_0Ib}{\pi\sqrt{(\rho+b)^2+z^2}}\int_{0}^{\pi/2} \frac{(2\cos^2(u)-1)\mathrm{d}u}{\sqrt{1-m\cos^2(u)}}$

El numerador se puede escribir en la forma

$2\cos^2(u)-1=-\frac{2}{m}(1-m\cos^2(u))+\frac{2}{m}-1$

de manera que el potencial vector se descompone en

$A_y=\frac{\mu_0Ib}{\pi\sqrt{(\rho+b)^2+z^2}}\left(\left(\frac{2}{m}-1\right)\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-m\cos^2(u)}}-\frac{2}{m}\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-m\cos^2(u)}\,\mathrm{d}u\right)$

con lo que llegamos finalmente a la expresión

$A_y=\frac{\mu_0Ib}{\pi\sqrt{(\rho+b)^2+z^2}}\left(\left(\frac{2}{m}-1\right)\mathrm{K}(m)-\frac{2}{m}\mathrm{E}(m)\right)$

Campo de un imán anular

De Laplace

Contenido

1 Introducción

2 Corrientes equivalentes

3 El campo de una espira circular

4 El campo de dos espiras concéntricas

5 El campo de un imán anular

6 Imán que cae alrededor de un tubo

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