De Laplace

Revisión a fecha de 13:48 10 abr 2018; Pedro (Discusión | contribuciones)

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1 Introducción

El tensor de inercia de un sólido rígido caracteriza la relación entre el momento cinético del sólido respecto a un punto y su vector rotación. Su carácter tensorial se debe a que tanto el momento cinético como el vector rotación son magnitudes vectoriales.

1.1 Momento de inercia respecto a un eje

Para una partícula de masa $m$ , situada en el punto $P$ y con velocidad $\vec{v}$ , su momento cinético respecto a un punto $O$ es

$\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v})$

Supongamos una partícula $m$ que describe una circunferencia de radio $R$ en torno al origen con velocidad angular $\vec{\omega}$ . Su velocidad es

$\vec{v} = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

El momento cinético de esta partícula respecto al centro de la circunferencia es perpendicular al plano de ésta y de módulo

$|\vec{L}_{O}| = m|\vec{\omega}||\vec{v}| = mR^2\omega$

Puesto que en este caso el momento cinético tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular, podemos escribir esta expresión en forma vectorial

$\vec{L}_{O} = mR^2\vec{\omega}$

Esta relación entre los vectores rotación y momento cinético es similar a la que existe entre la velocidad y la cantidad de movimiento, $\vec{p}=m\vec{v}$ . El escalar que multiplica al vector rotación, $m R 2$ , es una medida de la inercia de la partícula respecto al movimiento de rotación. Recibe el nombre de momento de inercia de la partícula respecto al eje $Δ$ . El momento de inercia relaciona una magnitud cinemática, $\vec{\omega}$ con una magnitud cinética, $\vec{L}_O$ .

$I Δ = m R 2 .$

Para un sistema de partículas (por ejemplo, un sólido rígido) el momento cinético del sistema respecto de un punto es la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que componen el sistema. Supongamos que tenemos un disco que rota con vector rotación $\vec{\omega}$ respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro.

Cada elemento de superficie del disco, de masa $d m$ , realiza un movimiento circular de radio $r$ y con velocidad

$\vec{v} = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP} = \vec{\omega}\times\vec{r}$

Igual que para la partícula anterior, el momento cinético respecto al centro de disco del elemento de área es

$\mathrm{d}\vec{L}_O = I_{\Delta}\vec{\omega} = \mathrm{d}m\,r^2\vec{\omega}$

El momento cinético del disco es la suma de los momentos cinéticos de todos los elementos de área que se pueden considerar en el disco. Como es un sistema continuo la suma se convierte en integral

$\vec{L}_O = \int\limits_S\mathrm{d}\vec{L}_O = \int\limits_S \mathrm{d}m\,r^2\vec{\omega} = \left(\int\limits_S \mathrm{d}m\,r^2\right)\vec{\omega}$

Hemos usado que el vector rotación es el mismo en todos los puntos del sólido (es el invariante vectorial), y lo sacamos de factor común de la integral. La cantidad entre paréntesis es el momento de inercia del disco respecto al eje $Δ$

$I_{\Delta} = \int\mathrm{d}m \, r^2$

.

Vemos que en este caso se cumple

$\vec{L}_O = I_{\Delta}\vec{\omega},$

es decir, los vectores momento cinético y rotación son paralelos. En este caso esto ocurre porque el eje de rotación es un eje de simetría del sólido. Si este no es el caso los vectores rotación y momento angular no son paralelos. Un ejemplo sencillo donde el momento cinético no es paralelo a la velocidad angular es el de un rotor desequilibrado.

En estos casos todavía existe una relación lineal entre el momento cinético y el vector rotación. Pero para ello, el momento de inercia respecto a un eje, que es una magnitud escalar, se ve sustituida por el Tensor de Inercia (o Matriz de Inercia), $\overset{\leftrightarrow}{I}_O$ . Esta es una magnitud tensorial, de modo que podemos escribir

$\vec{L}_O = \overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega}$

1.1.1 Ejempos de momentos de inercia respecto a un eje

Varilla homogénea: Una barra de longitud H con una masa M distribuida uniformemente posee un momento de inercia respecto a un eje perpendicular a ella por su centro

$I = \int R^2\,\mathrm{d}m=\int_{-H/2}^{H/2} x^2\,\left(\frac{M}{H}\mathrm{d}x\right)=\frac{MH^2}{12}$

donde hemos aplicado que por ser homogénea

$\mathrm{d}m=\mu\,\mathrm{d}x\qquad\qquad\mu = \frac{M}{L}$

Superficie cilíndrica: Para una superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$ , el momento de inercia respecto al eje del cilindro es, simplemente

$I_{zz}=\int_M R^2\,\mathrm{d}m = R^2\int_M\,\mathrm{d}m = MR^2$

ya que todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje.

Cilindro macizo: Si en cambio consideramos un cilindro macizo homogéneo de radio $R$ y altura $h$ , su momento de inercia es igual a

$I_{zz}=\int_M r^2\,\mathrm{d}m = \int_V \rho r^2\,\mathrm{d}V$

Como elementos de volumen consideramos finas películas cilíndricas de radio

r

y espesor

d r

, cada una de las cuales tiene el volumen diferencial

$\mathrm{d}V = S(r)\,\mathrm{d}r = 2\pi r\,h\,\mathrm{d}r$

Llevando esto al momento de inercia nos queda

$I_{zz} = \int_0^R \rho(r^2)(2\pi\,r\,h)\mathrm{d}r = 2\pi\rho h\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r=\frac{\pi \rho R^4 h}{2}$

Vemos que para cilindros del mismo material (con la misma densidad de masa), el momento de inercia va como la cuarta potencia del radio (esto es, doble de radio significa que el momento de inercia se multiplica por 16). Sustituyendo el valor de la densidad de masa

$\rho = \frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 h}\qquad\Rightarrow\qquad I_{zz}=\frac{1}{2}MR^2$

El momento de inercia de un cilindro macizo es entonces la mitad del de una superficie cilíndrica de la misma masa y el mismo radio.

Puesto que estos resultados no dependen de la altura del cilindro también son aplicables al caso de un anillo (superficie cilíndrica de altura muy pequeña) y de un disco (cilindro macizo de muy pequeño espesor).

Por su interés, es conveniente tabular casos particulares de momentos de inercia de sólidos homogéneos. Muchos otros pueden hallarse

Sólido	Eje	Momento de inercia
Superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$MR^2\,$
Cilindro macizo de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$\frac{1}{2}MR^2$
Cilindro hueco de radio interior $R 1$ , exterior $R 2$ y altura $h$	El del cilindro	$\frac{1}{2}M\left(R_1^2+R_2^2\right)$
Varilla rectilínea de longitud $H$	Perpendicular por el centro	$\frac{1}{12}MH^2$
Paralelogramo de lados $b$ y $h$ (incluye cuadrados, rectángulos y rombos)	Perpendicular por el centro	$\frac{M(b^2+h^2)}{12}$
Cubo macizo de arista $R$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{Ma^2}{6}$
Esfera hueca de radio $R$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{2MR^2}{3}$
Esfera maciza de radio $a$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{2MR^2}{5}$