Resorte forzado

De Laplace

Revisión a fecha de 10:09 10 feb 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Un niño juega con un resorte de constante k = 20 N/m y fricción despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorte entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El niño agita la mano arriba y abajo, con una amplitud c = 2 cm y una frecuencia $ω$ . Determine la posición de la pesa, si esta oscila con la misma frecuencia que la mano. ¿En qué condiciones la pesa llegará a golpearle la mano?

2 Solución

El movimiento de la pesa es vertical, de forma que podemos usar una sola dimensión. Sea $Y$ la dirección vertical y hacia abajo, medida desde la posición central de la mano, de forma que ésta ocupa la posición

$y_1 = c\cos(\omega t)\,$

Obsérvese que $ω$ es una frecuencia arbitraria (la que quiera darle el niño al mover su mano) y no tiene por qué coincidir con la que tendría el muelle si oscilara libremente (frecuencia propia)

$\omega \neq \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

La pesa está sometida a la acción de dos fuerzas: su propio peso y la fuerza elástica ejercida por el muelle.

$F = mg-k(y-y_1-l_0)\,$

siendo $l 0$ la longitud natural del muelle (que aquí debemos tener en cuenta porque queremos ver en qué caso el muelle se encoge del todo). La cantidad $y 1$ aparece porque la ley de Hooke es dependiente del estiramiento total del muelle, y éste depende tanto de la posición inicial como de la final

La ecuación de movimiento para la pesa es entonces

$m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}=mg-k(y-y_1-l_0)$

Sustituyendo $y 1$ nos queda la ecuación de movimiento

$m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+ky=mg+kl_0 + kc \cos(\omega t)$

Sabemos que la pesa oscila con la misma frecuencia que la mano del niño. Estas oscilaciones las hará en torno a una cierta posición de equilibrio, así que la solución la podemos escribir en la forma

$y = y_0 + a\cos(\omega t) + b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

donde $y 0$ (la posición central de las oscilaciones), $a$ y $b$ son constantes que hay que determinar. la razón de que haya que incluir un término en en el seno es que sabemos que oscila con frecuencia $ω$ , pero no sabemos si existe un cierto desfase entre las oscilaciones de la mano y de la pesa. Una forma alternativa sería escribir

$y = y_0 + A\cos(\omega t+\phi)\,$

pero de esta forma el cálculo es un poco más complicado.

Sustituimos en la ecuación de movimiento y nos queda

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