Cuatro planos y fuente de tensión

De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Cargas, campos y potenciales 2.2 Estado tras la conexión 2.3 Carga transferida y trabajo

1 Enunciado

Se tiene un sistema formado por cuatro placas cuadradas de lado L, situadas paralelamente a una distancia $a$ cada una de la siguiente. Entre las placas hay vacío.

Las dos placas exteriores (“1” y “4”) se encuentran permanentemente a tierra.

1. Inicialmente, la placa 2 se encuentra conectada a un generador e tensión V₀ mientras que la 3 está aislada y descargada. Calcule el campo eléctrico en cada una de las tres regiones, la carga y el voltaje de las cuatro placas en este estado, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
2. De forma abrupta, sin dar tiempo a que las placas se descarguen, el interruptor se pasa de la posición A la B, pasando la fuente a estar conectada a la placa 3. Halle los nuevos valores de los campos, las cargas, las tensiones y la energía almacenada una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático.
3. Suponga que a la salida de la fuente de tensión se coloca un amperímetro y un integrador, de forma que se puede saber la carga que pasa por el cable durante el periodo transitorio. ¿Qué valor dará esta lectura? ¿Qué trabajo realiza la fuente durante este periodo transitorio?

2 Solución

2.1 Cargas, campos y potenciales

Aunque el sistema está formado por cuatro placas, puede considerarse como formado por solo dos conductores, ya que las placas exteriores, que se encuentran permanentemente a tierra, funcionan simplemente como referencia, actuando como 6ldquo;el infinito” en un sistema arbitrario de conductores. Los únicos conductores “vivos”, en el sentido de que podemos variar sus potenciales o fijar sus cargas, son las dos placas centrales.

Considerado como un sistema de dos conductores, el circuito equivalente estará formado por tres condensadores. Puesto que la sección y la distancia entre placas son las mismas en todos los casos, las capacidades son todas iguales

Aquí representa la capacidad que forma el conductor 2 con tierra, que en este caso es el conductor 1. Por ello, sería equivalente que pusiéramos o en este caso; lo mismo con y .

Esto nos da los coeficientes de capacidad

        

o, en forma matricial

Además de estos tres condensadores, lo único que hay que añadir es la fuente de tensión V₀ y las conexiones a tierra de las placas exteriores. A la placa 3 no hace falta conectar nada, por estar aislada y descargada.

Para hallar la carga en la placa 2, simplemente observamos que se encuentra conectada a tierra por dos ramas, una con un solo condensador C₀ y otra formada por dos condensadores C₀ puestos en serie. La capacidad equivalente de la asociación será

2.2 Estado tras la conexión

2.3 Carga transferida y trabajo