Teoremas del seno y del coseno (GIE)

Revisión a fecha de 10:14 1 oct 2015; Antonio (Discusión | contribuciones)

1 Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial

$\vec{a}= \vec{b} + \vec{c}$

o, equivalentemente

$\vec{a}- \vec{b} = \vec{c}$

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

$(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2$

Desarrollando el producto escalar

$\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2$

El ángulo que forman los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es $γ$ por lo que finalmente obtenemos

$a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2$

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

$A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|$

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

$A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,\gamma}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,\beta}{2}$

Dividiendo por el producto $a b c$ y multiplicando por 2 nos queda

$\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}$

que es el teorema del seno.