Vector superficie

De Laplace

Revisión a fecha de 11:06 25 dic 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 caso de una curva plana
- 2.2 Caso de una curva alabeada

1 Enunciado

Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, $Γ$ , del plano $X Y$ , se cumple que

$\left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right| = 2 S$

donde $\mathbf{r}$ es el vector de posición y $S$ el área encerrada por $Γ$ .

A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio

$\frac{1}{2}\oint\mathbf{r} \times d\mathbf{r}= \mathbf{S}$

donde $\mathbf{S}$ es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados.

2 Solución

2.1 caso de una curva plana

Supongamos, en primer lugar, que tenemos una curva plana, sobre la que situamos el plano $X Y$ . En este plano

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y$ $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{u}_x+\mathrm{d}y\mathbf{u}_y$ $\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)\mathbf{u}_z$

El módulo de la integral es por tanto igual a

$\left|\mathbf{I}\right| = \left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right|=\oint_\Gamma \left(-y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y\right)$

Esta integral puede escribirse como una circulación

$\left|\mathbf{I}\right| = \oint_\Gamma \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ $\mathbf{v}=-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y$

Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes

$\left|\mathbf{I}\right| = \oint_\Gamma \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_S\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

siendo el rotacional

$\nabla\times\mathbf{v} = \left|\begin{matrix}\mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_x \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial x} &\displaystyle\frac{\partial\ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial z} \\ & & \\ -y & x & 0\end{matrix}\right| = 2\mathbf{u}_z$

y el diferencial de seuperficie, por estar ésta en el plano XY

$\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathrm{d}S\,\mathbf{u}_z$

con lo que queda finalmente

$\left|\mathbf{I}\right| = \left| \oint_{\Gamma} \mathbf{r} \times \mathrm{d}\mathbf{r}\,\right|= \int_S\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \int_S\left(2\mathbf{u}_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\right) = 2\int_S \mathrm{d}S = 2S$

2.2 Caso de una curva alabeada

Supongamos ahora que tenemos una curva alabeada, esto es, que no puede contenerse en un plno, o una curva plana pero que no está situada en ninguno de los planos coordenados.

En esta curva tridimensional, tanto el vector de posición como el diferencial de camino poseen las tres componentes

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z$ $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{u}_x+\mathrm{d}y\mathbf{u}_y+\mathrm{d}z\mathbf{u}_z$ $\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\left(y\,\mathrm{d}z-z\,\mathrm{d}y\right)\mathbf{u}_x+\left(z\,\mathrm{d}x-x\,\mathrm{d}z\right)\mathbf{u}_y+\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)\mathbf{u}_z$

Al sustituir en la integral nos resulta la suma de tres términos

$\mathbf{I}=I_x\mathbf{u}_x+I_y\mathbf{u}_y+I_z\mathbf{u}_z$ $I_x=\oint_\Gamma\left(y\,\mathrm{d}z-z\,\mathrm{d}y\right)$ $I_y=\oint_\Gamma\left(z\,\mathrm{d}x-x\,\mathrm{d}z\right)$ $I_z=\oint_\Gamma\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)$

Si nos fijamos, por ejemplo, en la tercera componente

$I_z=\oint_\Gamma\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)$

vemos que el integrando es exactamente el mismo que en el caso de una curva plana. La curva de integración en este caso es tridimensional, pero, puesto que en el integrando aparecen solamente $x$ e $y$ , realmente los valores de $z$ son irrelevantes. Otra curva, con diferentes valores de $z$ , en particular, una curva que tuviera $z = 0$ , pero los mismos valores de $x$ e $y$ , daría el mismo resultado. Esto es, que esta componente es igual a la integral sobre la proyección de la curva $Γ$ en el plano $X Y$ . La proyección es una curva plana, y por tanto, para ella es aplicable el resultado del apartado anterior. Por tanto

$I_z=\oint_\Gamma\left(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\right)=2S_z$

siendo $S z$ el área de la proyección de $Γ$ sobre el plano $x = 0$

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