Algunas identidades vectoriales

De Laplace

Revisión a fecha de 11:16 22 dic 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1
- 2.2
- 2.3

1 Enunciado

Demuestre que si $\mathbf{r}$ es el vector de posición y $\mathbf{B}$ un campo vectorial arbitrario

$(\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{B}$
$(\mathbf{B}\times\nabla){\cdot}\mathbf{r}=0$
$(\mathbf{B}\times\nabla)\times\mathbf{r}=-2\mathbf{B}$

Igualmente, para el caso particular en que $\mathbf{B}$ represente un vector constante, demuestre que

$\nabla(\mathbf{B}{\cdot}\mathbf{r})=\mathbf{B}$
$\nabla{\cdot}(\mathbf{B}\times\mathbf{r})=0$
$\nabla\times(\mathbf{B}\times\mathbf{r})=2\mathbf{B}$

2 Solución

2.1 $(\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{B}$

El operador escalar $\mathbf{B}\cdot\nabla$ se expresa, en cartesianas, como

$\mathbf{B}\cdot\nabla = B_x\frac{\partial\ }{\partial x}+B_y\frac{\partial\ }{\partial y}+B_z\frac{\partial\ }{\partial z}$

Cuando este operador actúa sobre un campo vectorial, el resultado es la suma de nueve términos, ya que hay que “multiplicar” este operador vectorial por cada una de las componentes del campo vectorial sobre el que actúa:

$\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}= \left(B_x\frac{\partial A_x}{\partial x}+B_y\frac{\partial A_x}{\partial y}+B_z\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)\mathbf{u}_x$ $+\left(B_x\frac{\partial A_y}{\partial x}+B_y\frac{\partial A_y}{\partial y}+B_z\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\mathbf{u}_y+ \left(B_x\frac{\partial A_z}{\partial x}+B_y\frac{\partial A_z}{\partial y}+B_z\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)\mathbf{u}_z$

Cuando $\mathbf{A}=\mathbf{r}$ esta expresión se simplifica notablemente, ya que

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x + y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z$

y queda

$\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{r}= \left(B_x\overbrace{\frac{\partial x}{\partial x}}^{=1}+B_y\overbrace{\frac{\partial x}{\partial y}}^{=0}+B_z\overbrace{\frac{\partial x}{\partial z}}^{=0}\right)\mathbf{u}_x$ $+\left(B_x\overbrace{\frac{\partial y}{\partial x}}^{=0}+B_y\overbrace{\frac{\partial y}{\partial y}}^{=1}+B_z\overbrace{\frac{\partial y}{\partial z}}^{=0}\right)\mathbf{u}_y$ $+ \left(B_x\overbrace{\frac{\partial z}{\partial x}}^{=0}+B_y\overbrace{\frac{\partial z}{\partial y}}^{=0}+B_z\overbrace{\frac{\partial z}{\partial z}}^{=1}\right)\mathbf{u}_z$ $=B_x\mathbf{u}_x+B_y\mathbf{u}_y+B_z\mathbf{u}_z=\mathbf{B}$

2.2 $(\mathbf{B}\times\nabla){\cdot}\mathbf{r}=0$

Este se puede hacer directamente observando que $\nabla$ es un operador vectorial y, por tanto, siempre que no se cambie el orden de los términos y se tenga claro sobre qué actúa, pueden aplicarse las fórmulas del álgebra vectorial. En particular, puede aplicarse la propiedad del producto mixto

$\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)$

lo que nos convierte nuestra identidad vectorial en

$\left(\mathbf{B}\times\nabla\right)\cdot\mathbf{r} = \mathbf{B}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{r}\right)$

pero el vector de posición es un campo irrotacional. Por tanto

$\mathbf{B}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{r}\right) = \mathbf{B}\cdot\mathbf{0} = 0$

2.3 $(\mathbf{B}\times\nabla)\times\mathbf{r}=-2\mathbf{B}$

Una forma de probar esta identidad es escribir, al pie de la letra, lo que expresa, empleando coordenadas cartesianas y suponiendo un vector $\mathbf{B}=B_x\mathbf{u}_x+B_y\mathbf{u}_y+B_z\mathbf{u}_z$ . Si embargo, de esta forma resulta una expresión bastante engorrosa y poco informativa.

Podemos acortar este proceso notando que el resultado debe ser una identidad vectorial, independiente del sistema de ejes elegido. Por ello, tenemos libertad para tomar los ejes en la forma que nos resulte más conveniente. Eso sí, el resultado final debe estar expresado de nuevo en una forma independiente de los ejes.

Así pues tomamos el eje $Z$ coincidente con la dirección del campo $\mathbf{B}$ , de forma que este se expresa

$\mathbf{B}=B\mathbf{u}_z$

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 $(\mathbf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{B}$

2.2 $(\mathbf{B}\times\nabla){\cdot}\mathbf{r}=0$

2.3 $(\mathbf{B}\times\nabla)\times\mathbf{r}=-2\mathbf{B}$

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