Aplicaciones de las leyes de Newton (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 17:30 15 nov 2014; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Caída de los cuerpos
- 1.1 Movimiento sin rozamiento
- 1.2 Movimiento con rozamiento
2 Tensión de un hilo
- 2.1 Máquina de Atwood
3 Movimiento sobre una superficie
4 Movimiento a lo largo de una curva

1 Caída de los cuerpos

En las proximidades de la superficie terrestre, la ley de Newton de la Gravitación Universal se reduce a

$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\vec{u}_r\simeq -\frac{GM}{R_T^2}m\vec{k}=m\vec{g}$

siendo

$\vec{g}=-g\vec{k}\qquad g \simeq 9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Una cantidad independiente de la masa del cuerpo.

Si suponemos que no hay otra fuerza actuando sobre la partícula, la aplicación de la segunda ley de Newton nos da

$\vec{a}=\frac{1}{m}(m\vec{g}) = \vec{g}$

esto es que, como ya descubrió Galileo

En ausencia de rozamiento, todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

Esto es, la percepción cotidiana, formulada por Aristóteles, de que los cuerpos pesados caen más rápidamente que los ligeros no se debe a la diferencia en sus pesos, sino a las diferentes fuerzas de rozamiento que actúan sobre ellos.

1.1 Movimiento sin rozamiento

En ausencia de rozamiento, el movimiento de un cuerpo sometido exclusivamente a la acción de sus peso es uno parabólico, ya que la integración de las ecuaciones de movimiento es inmediata. De la aceleración

$\vec{a}=\vec{g}$

resulta la velocidad

$\vec{v}=\vec{v}_0+\int_0^t \vec{g}\,\mathrm{d}t = \vec{v}_0 + \vec{g}t$

y de aquí la posición

$\vec{r}=\vec{r}_0+\int_0^t \vec{v}\,\mathrm{d}t = \vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2$

Separando en componentes quedan las ecuaciones horarias

$x = x_0 + v_{x0}t\qquad\qquad y = y_0 + v_{y0}t\qquad\qquad z = z_0 + v_{z0}t-\frac{1}{2}gt^2$

Vemos que la coordenada vertical sigue un movimiento uniformemente acelerado, mientras que las horizontales varían uniformemente.

1.2 Movimiento con rozamiento

Cuando tenemos en cuenta el rozamiento con el aire el problema se complica bastante. En el caso realista de un objeto que se mueve por el aire, la fuerza de rozamiento sería cuadrática

$\vec{F}_r=- \frac{1}{2}\rho AC_d |\vec{v}-\vec{u}|(\vec{v}-\vec{u})$

siendo $\vec{u}$ la velocidad del aire que rodea a la partícula (el viento). Esto convierte la ecuación de movimiento en una ecuación diferencial

$\vec{a}=\vec{g}- \frac{\rho AC_d}{2m} |\vec{v}-\vec{u}|(\vec{v}-\vec{u})$

La aceleración en cada punto depende de la velocidad que tenga, por lo que no se puede simplemente integrar. Además, aparece la velocidad del aire circundante que puede ser variable en el tiempo o dependiente de la posición (hace más viento a alturas mayores). Incluso, para grandes alturas, la densidad $ρ$ que es la del aire, también será dependiente de la posición.

Por ello, no existe una solución analítica general para este tipo de movimiento.

El caso más sencillo de este tipo de movimiento y que sí admite una solución analítica, sería el de la caída de una partícula desde una altura moderada $h$ , partiendo del reposo, y suponiendo que no hay corrientes de aire.

En este caso, el movimiento es puramente vertical, por lo que se pueden considerar variables escalares. De esta forma la ecuación de movimiento se reduce a

$v = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\qquad m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-mg + \frac{\rho A C_d}{2} v^2$

Nótese que puesto que la partícula está cayendo, la fuerza de rozamiento va hacia arriba. De ahí el signo positivo que la precede.

A partir de la forma de la ecuación, podemos ver que inicialmente $v\simeq 0$ y por tanto la aceleración es prácticamente la de la gravedad. A medida que se va acelerando aumenta la fricción, hasta que iguala al peso. A partir de ese momento la fuerza es nula y la velocidad permanece constante. Esta velocidad límite cumple

$-mg + \frac{\rho A C_d}{2}v_L^2\qquad v_L = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d}}$

Esto nos permite escribir la ecuación de movimiento como

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-g\left(1-\frac{v^2}{v_L^2}\right)$

Podemos integrar esta ecuación si en vez de preguntarnos cuánto aumenta la velocidad en un instante, nos preguntamos cuánto tiempo tarda en aumentar una cierta cantidad

$\mathrm{d}v = -g\left(1-\frac{v^2}{v_L^2}\right)\,\mathrm{d}t \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}t=-\frac{\mathrm{d}v}{g(1-v^2/v_L^2)}$

Integrando en los dos miembros

$t = -\frac{1}{g}\int_0^v\frac{\mathrm{d}v}{1-v^2/v_L^2}$

Separando en dos fracciones e integrando cada una

$t = -\frac{v_L}{2g}\ln\left(\frac{v_L+v}{v_L-v}\right)$ o $t = \frac{v_L}{g}\mathrm{arctanh}\left(\frac{v}{v_L}\right)$

y despejando de aquí

$v = -v_L\frac{1-\mathrm{e}^{-2gt/v_L}}{1+\mathrm{e}^{-2gt/v_L}}$ o $v = v_L\tanh\left(\frac{g t}{v_L}\right)$

Esta función, como habíamos predicho, comienza con un crecimiento lineal, con pendiente $g$ , para luego estabilizarse en el valor de la velocidad terminal (aunque con signo negativo, indicando que su sentido es hacia abajo).

Integrando de nuevo obtenemos la posición como función del tiempo

$\int_h^z \mathrm{d}z = \int_0^t v(t)\,\mathrm{d}t$

y resulta

$z = h - v_L t- \frac{v_L^2}{g}\ln\left(\frac{1+\mathrm{e}^{-2g t/v_L}}{2}\right)$

2 Tensión de un hilo

Uno de los elementos más comunes en problemas de dinámica es la presencia de hilos flexibles conectados a diferentes cuerpos, anclajes fijos o pasando por poleas. Estos hilos, en primera aproximaciones se consideran como ideales:

No tienen masa
Son inextensibles

Al ser inextensibles, garantizan que la distancia entre sus extremos permanece constante.

La propiedad de no tener masa implica que no tienen inercia y que no es necesario aplicarles una fuerza neta para moverlo, sino que simplemente se mueven arrastrados por las masas situadas en sus extremos.

Cuando tiramos de un extremo de un hilo (ideal o real), este experimenta una tensión. Esta es una fuerza debida a la minúscula separación en los átomos del extremo de la cuerda, que a su vez atraen a los átomos situados un poco más allá, y estos tiran de los siguientes, etc. El resultado es que todos los átomos quedan ligeramente separados de sus posiciones de equilibrio y toda el hilo se encuentra en tensión.

En principio, la tensión de un hilo puede ir variando a lo largo de éste. Por ejemplo, imaginemos una cuerda pesada que pende del techo. Los puntos superiores deben soportar una mayor fuerza que los inferiores, y por tanto la tensión será más elevada en los puntos más altos.

Si la cuerda es ideal,sin embargo, la tensión tiene el mismo valor en todos los puntos del hilo. Consideremos un elemento del hilo, de masa $d m$ y longitud $d x$ . De acuerdo con la segunda ley de Newton,

$\mathrm{d}m\,\vec{a}=\vec{T}(x+\mathrm{d}x)-\vec{T}{x}$

ya que el elemento se encuentra sometido a dos tensiones, una por cada extremo, que tiran en sentidos opuestos. Si el hilo es completamente ideal, la masa de elemento es completamente nula y

$\vec{0} = \vec{T}(x+\mathrm{d}x)-\vec{T}(x) \qquad\Rightarrow\qquad \vec{T}(x+\mathrm{d}x)= \vec{T}(x)$

Si el hilo se dobla en su camino (por ejemplo, al pasar por una polea también ideal sin masa), la tensión sigue teniendo el mismo módulo en todos los puntos del hilo, aunque su dirección y sentido cambien, por ser siempre tangente al hilo.

2.1 Máquina de Atwood

Una de las aplicaciones de las tensiones de hilos es el de la máquina de Atwood, formada por dos masas $m 1$ y $m 2$ unidas por un hilo ideal que pasa por una polea también ideal. Cuando se liberan estas masas, la más pesada tira de las más ligera y comienzan a moverse aceleradamente. La cuestión es calcular con qué aceleración lo hacen.

Para la masa $m 1$ , las fuerzas que actúan sobre ella son su peso y la tensión del hilo, de forma que

$m_1\vec{a}_1 = m_1\vec{g}+\vec{T}_1$

Puesto que todas las fuerzas son verticales, podemos usar cantidades escalares

$\vec{a}_1 =a \vec{k}\qquad \vec{T}_1=T\vec{k}\qquad\vec{g}=-g\vec{k}$

y queda

$m_1 a = -m_1g+T\,$

Haciendo los mismo para la segunda masa

$m_2\vec{a}_2 = m_2\vec{g}+\vec{T}_2$

Por ser la cuerda inextensible, la aceleración con la que se estira por un lado debe ser exactamente igual que con la que se recoge por otro.

$x_1 + x_2 +\pi R = L=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad v_1+v_2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad a_2=-a_1=-a$

Por otro lado, como el módulo de la tensión del hilo es el mismo a lo largo de todos sus puntos

$\vec{a}_2 = -a\vec{k}\qquad \vec{T}_2 = T\vec{k}$

lo que nos da la ecuación escalar

$-m_2a = -m_2g + T\,$

Restando las dos ecuaciones obtenemos la aceleración $(m_1+m_2)a = (m_2-m_1)g\qquad\Rightarrow\qquad a = \frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g$

y si queremos la tensión del hilo

$T = m_1(a+g) = \frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$

La fuerza sobre la polea la da en que está sometida a la tensión que tira de ella por sus dos extremos

$\vec{F}=-\vec{T}_1-\vec{T}_2 = -2T\vec{k}=-\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}$

Vemos que no es simplemente igual al peso de las dos masas, sino que influye el que éstas estén aceleradas. Esta fuerza debe ser contrarrestada por el anclaje de la polea, que debe ejercer una fuerza igual y de sentido contrario $\vec{F}_\mathrm{ext}=-\vec{F}$ .

3 Movimiento sobre una superficie

Un caso de partícula vinculada es aquél en que se ve a obligada a moverse sobre una superficie. Esta superficie puede ser material o simplemente geométrica. Por ejemplo, una partícula que se mueve sobre el interior de un cuenco hemisférico, o una lenteja que oscila en el extremo de un hilo flexible, están sometidos al mismo vínculo de moverse sobre una superficie esférica.

El vínculo de moverse sobre una superficie puede ser unilateral o bilateral. En el caso péndulo con hilo flexible, la ligadura es unilateral, ya que la distancia al centro es menor o igual a $L$ , la longitud del hilo. Si en vez de un hilo tenemos una barra rígida, el vínculo es bilateral, ya que la distancia al centro es siempre igual a $L$ .

Cunado una partícula se mueve sobre una superficie fijada experimenta una fuerza de reacción vincular, que se compone dos partes:

Una fuerza perpendicular a la superficie, que es la responsable de que la partícula se mueva sobre ella. Por la tercera ley de Newton, esta fuerza será igual y opuesta a la componente normal que la partícula ejerce sobre la superficie.
Una fuerza de rozamiento, tangente a la superficie. En los casos de contacto seco, sigue las leyes de Coulomb del rozamiento.

En el caso de un vínculo liso (sin rozamiento), la fuerza de reacción es puramente perpendicular a la superficie.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en el plano inclinado. Consideremos un bloque de masa $m$ situada sobre un plano inclinado un ángulo $β$ . El coeficiente de rozamiento estático es $μ$ y el dinámico es $μ d$ ( $μ d < μ$ ). ¿Cuánto vale el ángulo mínimo para que deslice? Si lo hace, ¿cuánto vale su aceleración?

Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso, la reacción normal del plano y la fuerza de rozamiento. Para que no haya deslizamiento, la suma de las tres debe ser nula. Si usamos un sistema de ejes en el que ele eje OX es tangente al plano y el OY es perpendicular a él, el peso puede escribirse como

$\vec{P}=m\vec{g}=m g\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-mg\cos(\beta)\vec{\jmath}$

mientras que la reacción normal y la fuerza de rozamiento son de la forma

$\vec{F}_n=F_n\vec{\jmath}\qquad \vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}$

Sumando las tres

$(m g\,\mathrm{sen}(\beta)-F_r)\vec{\imath}+(F_n-mg\cos(\beta))\vec{\jmath}=\vec{0}$

Puesto que las dos componentes deben anularse

$F_r = mg\,\mathrm{sen}(\beta)\qquad F_n = mg\,\cos(\beta)$

Dividiendo una por la otra

$\frac{F_r}{F_n} = \mathrm{tg}(\beta)$

pero, por las leyes del rozamiento

$\frac{|F_r|}{|F_n|}\leq\mu$

lo que nos da la condición para el ángulo

$\mathrm{tg}(\beta)\leq \mu$

Existe un ángulo crítico $β c = arctg(β)$ por debajo del cual el bloque se queda un equilibrio y por encima del cual desliza.

Cuando lo hace, el bloque adquiere una aceleración paralela al plano, con lo que la segunda ley de Newton nos da ahora

$(m g\,\mathrm{sen}(\beta)-F_r)\vec{\imath}+(F_n-mg\cos(\beta))\vec{\jmath}=ma\vec{\imath}$

Separando en componentes

$m g\,\mathrm{sen}(\beta)-F_r=ma\qquad F_n-mg\cos(\beta)=0$

En el caso del rozamiento dinámico seco

$|F_r| = \mu_d |F_n| = \mu_d m g\cos(\beta)\,$

lo que nos da la aceleración, independiente de la masa,

$a = g\left(\mathrm{sen}(\beta)-\mu_d \cos(\beta)\right)\,$

Obsérvese que, puesto que $μ d < μ$ existe un rango de ángulos tales que si el bloque está en reposo, permanece en reposo, pero si está en movimiento, continúa haciéndolo aceleradamente. Esto quiere decir en la práctica lo siguiente. Si vamos aumentando la inclinación del plano hasta un poco por debajo la posición de deslizamiento inminente, y ahora le pegamos un golpecito al plano, rompiendo los enlaces causantes del rozamiento estático, el bloque empieza a moverse, ya que la fuerza de rozmainto dinámica no es capaz de contenerlo.

El movimiento sobre una superficie no tiene por qué ser un movimiento plano, y el vector perpendicular a la superficie no tiene por qué coincidir con $\vec{N}$ , el vector normal a la trayectoria. Por ejemplo, consideremos de nuevo la particula que se mueve en el interior de un cuenco esférico sin rozamiento, sometida a la acción de su peso. La segunda ley de Newton se escribe

$m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{\Phi}$

donde $\vec{\Phi}$ va en la dirección radial hacia adentro

$\vec{\Phi}= -\Phi\frac{\vec{r}}{R}=-\Phi\left(\frac{x}{R}\vec{\imath}+\frac{y}{R}\vec{\jmath}+\frac{z}{R}\vec{k}\right)$

lo que nos da las tres ecuaciones escalares

$m\ddot{x} = -\Phi\frac{x}{R}\qquad m\ddot{y}=-\Phi\frac{y}{R}\qquad m\ddot{z} = -\Phi\frac{z}{R}-mg$

junto con la ecuación del vínculo

$x^2+y^2+z^2=R^2\,$

En las ecuaciones anteriores $Φ$ no es una constante. Es el módulo de la fuerza de reacción que ejerce el cuenco. Esta fuerza es una función de la posición y del tiempo.

Así, en la figura vemos la solución (obtenida numéricamente) de una partícula en el interior de una esfera a la cual se le ha comunicado una cierta velocidad lateral inicial. Vemos que el peso (flecha verde) es una fuerza constante mientras que la reacción de la superficie (flecha azul) es siempre radial hacia adentro, pero su módulo puede variar considerablemente. La suma de estas dos fuerzas produce una aceleración con una dirección variable, con una componente normal que en ningún caso va en la dirección de la normal a la superficie.

Un caso particular soluble de la partícula en la esfera sin rozamiento consiste en que si se le comunica una velocidad horizontal adecuada, se puede conseguir que describa circunferencias horizontales

$x = A\cos(\omega t)\qquad y = A\,\mathrm{sen}(\omega t)\qquad z = -z_0$

Sustituyendo en las ecuaciones de movimiento queda

$-m\omega^2 A\cos(\omega t) = -\Phi\frac{A}{R}\cos(\omega t)\qquad -m\omega^2 A\,\mathrm{sen}(\omega t) = -\Phi\frac{A}{R}\,\mathrm{sen}(\omega t)$ $0 = \Phi\frac{z_0}{R}-mg\qquad A^2+z_0^2=R^2$

De estas ecuaciones obtenemos que

$\omega = \sqrt{-\frac{g}{z_0}}$

lo que nos dice que este movimiento sólo es posible si $z 0 < 0$ , esto es, en el hemisferio inferior. La rapidez que hay que comunicarle a la partícula debe ser, por tratarse de un movimiento circular

$v_0=\omega A=\sqrt{-\frac{g}{z_0}}\sqrt{R^2-z_0^2}$

y la fuerza de reacción del cuenco tiene por módulo

$\Phi = \frac{Rmg}{z_0}$

La dirección de esta fuerza, según hemos dicho, es hacia el centro de la esfera, mientras que el vector normal a la trayectoria apunta en la dirección normal (la única que hay en este caso), y es horizontal.

4 Movimiento a lo largo de una curva

Cuando una partícula se ve obligada a seguir una curva determinada, por ejemplo, un automóvil siguiendo una carretera, o una anilla ensartada en un alambre, experimenta una fuerza de reacción vincular que, como en el caso de la superficie, se compone de:

una componente perpendicular a la curva, no necesariamente en el sentido de $\vec{N}$ , el unitario en la dirección del vector normal.
una fuerza de rozamiento en la dirección tangente a la curva.

En el caso de un vínculo liso, sin rozamiento, la fuerza de reacción es puramente perpendicular a la trayectoria.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en un coche que describe una curva circular

En ausencia de rozamiento y de peralte, la fuerza de reacción del suelo es puramente vertical, como lo es el peso, el coche no puede tomar la curva, ya que no hay fuerza horizontal. Necesariamente derrapa.
Una curva peraltada, posee una inclinación hacia el interior de la curva, lo que proporciona una componente radial a la fuerza de reacción, permitiendo el giro incluso en ausencia de rozamiento. Eso sí, solo a una velocidad concreta.
El rozamiento lateral debido a los neumáticos es una fuerza radial, responsable, en las curvas llanas no peraltadas, de la fuerza normal hacia el interior de la curva, que permite el giro sin derrapar.
La combinación de rozamiento y peralte permite un amplio rango de velocidades con las que tomar la curva sin derrapar.

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1 Caída de los cuerpos

1.1 Movimiento sin rozamiento

1.2 Movimiento con rozamiento

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