Condensador esférico

De Laplace

Revisión a fecha de 13:03 17 dic 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Halle la capacidad de un condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas, de radios $a$ y $b$ ( $a < b$ ).

2 Solución

2.1 Caso general

Suponemos la superficie interior a potencial $V 0$ y la exterior a tierra.

En el hueco entre las dos superficies esféricas no hay carga intermedia, por lo que se verifica la ecuación de Laplace

$\nabla^2\phi = 0$

con las condiciones de contorno

$\phi = V_0\,$ $(r=a)\,$ $\phi = 0\,$ $(r=b)\,$

Por la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada radial $r$ . En este caso, la solución de la ecuación de Laplace es de la forma

$\phi = A + \frac{B}{r}$

Quedan por determinar las constantes $A$ y $B$ . Sustituyendo las condiciones de contorno

$A + \frac{B}{a} = V_0$ $A + \frac{B}{b} = 0$

resultan las constantes y el potencial

$A = -\frac{V_0a}{b-a}$ $B = \frac{V_0ab}{b-a}$

y sustituyendo las constantes en la expresión del potencial

$\phi = \displaystyle\frac{V_0ab}{b-a}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right)\qquad (a < r < b)$

Una vez que tenemos el potencial hallamos el campo eléctrico $\mathbf{E}=-\nabla\phi =-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\mathbf{u}_r = \frac{V_0ab}{(b-a)r^2}\mathbf{u}_r$

La carga en la esfera a mayor potencial (la interior) la calculamos por aplicación de la ley de Gauss. Si tomamos una superficie esférica de radio $r$ concéntrica con la esfera interior

$Q_1 = \varepsilon_0 \oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \varepsilon_0 \int \frac{V_0ab}{(b-a)r^2}r^2\,\mathrm{d}\Omega = \frac{4\pi\varepsilon_0V_0ab}{(b-a)}$

ya que para una superficie esférica $\mathrm{d}\mathbf{S} = r^2\,\mathrm{d}\Omega\,\mathbf{u}_r$ y el ángulo sólido total $Ω = 4π$ .