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Partícula en el extremo de barras articuladas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras ideales de la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω en sentido antihorario respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular 2Ω en sentido horario. En el instante t = 0 el sistema está plegado de forma que el extremo B coincide con el origen de coordenadas.

  1. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.

Para el instante t = 0 halle

  1. La velocidad y la rapidez.
  2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
  3. El radio y el centro de curvatura.

Para el instante t = π/(2Ω) calcule

  1. La velocidad y la rapidez.
  2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

2 Posición

El vector de posición es suma de otros dos

\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}

siendo

\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{AB}=-h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}

lo que da

\vec{r}(t)=\overrightarrow{OB}=h\left(\cos(\Omega t)-\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

Como es sabido, una vez que tenemos la ecuación horaria, el cálculo del resto es sistemático, a base de derivar y realizar operaciones vectoriales.

3 Velocidad y rapidez en t = 0

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo

\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=h\Omega\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)+2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

que en t = 0 vale

\vec{v}(0) = h\Omega\left((0-0)\vec{\imath}+(1+2)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega\vec{\jmath}

La rapidez es el módulo de este vector

|\vec{v}(0)|=3h\Omega

4 Aceleración en t = 0

La aceleración la hallamos calculando la derivada de la velocidad respecto al tiempo

\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=h\Omega^2\left(-\cos(\Omega t)+4\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega^2\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)-4\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

que en t = 0 vale

\vec{a}(0)=h\Omega^2\left((-1+4)\vec{\imath}+(-0-0)\vec{\jmath}\right)=3h\Omega^2\vec{\imath}

5 Radio y centro de curvatura en t = 0

6 Velocidad y rapidez en t = π/(2Ω)

7 Aceleración en t = π/(2Ω)

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Part%C3%ADcula_en_el_extremo_de_barras_articuladas"

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