Fuerza en anilla ensartada en varillas

De Laplace

Revisión a fecha de 00:02 14 nov 2013; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

2 Sin considerar el peso

Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en este problema y en este otro: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular $2Ω$ y el radio de giro $L / 2$ . La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,

$\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}$

o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto

$\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \varphi = \Omega t$

La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton

$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}$

que en coordenadas polares queda

$\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}\right)\vec{u}_\varphi$

Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas

$\vec{F}=\vec{F}_L+\vec{F}_R$

La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza $\vec{F}_R$ . Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto

$\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\vec{u}_\rho$

Calculamos los términos que aparecen en esta expresión

$\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\varphi}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)$ $\varphi = \Omega \qquad\qquad\dot{\varphi}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\varphi}=0$

y por tanto

$\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho$

Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda $\vec{F}_L$ va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto $\vec{F}_L$ va en la dirección de $\vec{u}_\varphi$ y es igual a

$\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\vec{u}_\varphi = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\varphi$

3 Incluyendo el peso

Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda

$\vec{F}_1+\vec{F}_2 + m\vec{g} = m\vec{a}$

o, equivalentemente,

$\vec{F}_1+\vec{F}_2 = m\vec{a} - m\vec{g}$

Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad. Por ello podemos hallar las fuerzas debida a las barras como suma de 2

$\vec{F}_1 = \vec{F}_{1a}+\vec{F}_{1g}\qquad\qquad \vec{F}_2 = \vec{F}_{2a}+\vec{F}_{2g}$

tales que

$\vec{F}_{1a}+\vec{F}_{2a}=m\vec{a}\qquad \qquad \vec{F}_{1g}+\vec{F}_{2g}=-m\vec{g}$

Las dos primeras son las mismas que se calcularon en la sección anterior. Solo queda descomponer el peso (cambiado de signo) en suma de dos fuerzas perpendiculares a las barras.

El peso forma un ángulo $θ = Ω t$ con la barra 2 y su complementario con la barra 1. Por ello, se cumple

$|\vec{F}_{1g}| =mg\cos(\Omega t)\qquad |\vec{F}_{2g}| =mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)$

y, en forma vectorial

$\vec{F}_{1g}= mg\cos(\Omega t)\vec{u}_2\qquad\qquad \vec{F}_{2g}= mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_1$

En la base cartesiana

$\vec{F}_{1g}=mg\left(-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\cos^2(\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

y

$\vec{F}_{2g}=mg\left(\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

La suma de estas dos da una fuerza constante en la dirección vertical, como corresponde al peso.

Sumando cada una con al correspondiente del apartado anterior obtenemos la fuerza ejercida por cada una de las barras.

$\vec{F}_{1}= \left(-2m\Omega^2L\,\mathrm{sen}(\Omega t)+mg\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_2$

y

$\vec{F}_{2}= \left(-2m\Omega^2L\,\mathrm{cos}(\Omega t)+mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_1$

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