Fuerza en anilla ensartada en varillas

De Laplace

Revisión a fecha de 23:51 13 nov 2013; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

2 Sin considerar el peso

Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en este problema y en este otro: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular $2Ω$ y el radio de giro $L / 2$ . La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,

$\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}$

o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto

$\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \varphi = \Omega t$

La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton

$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}$

que en coordenadas polares queda

$\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}\right)\vec{u}_\varphi$

Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas

$\vec{F}=\vec{F}_L+\vec{F}_R$

La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza $\vec{F}_R$ . Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto

$\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\vec{u}_\rho$

Podemos hallar esta aceleración derivando dos veces la ecuación anterior. Sin embargo, es más simple aprovechar el que sabemos que describe un movimiento circular uniforme, por lo que su aceleración es igual a

$\vec{a} = -\omega^2(\vec{r}-\vec{r}_c)=(2\Omega)^2\left(\frac{L}{2}\right)\vec{N}=2\Omega^2L\vec{N}$

siendo $\vec{N}$ el vector unitario radial desde la anilla hacia el centro de la circunferencia que describe.

Por tanto, la fuerza neta será igual a

$\vec{F}=2m\Omega^2L\vec{N}$

Esta fuerza es la resultante de las fuerzas ejercidas por cada una de las barras. Éstas pueden empujar a la anilla lateralmente, pero no pueden impedir que se deslice a lo largo; por tanto, la fuerza que ejerce cada una es perpendicular a la propia barra.

Tenemos entonces que descomponer la fuerza neta en suma vectorial de dos fuerzas, cada una de ellas perpendicular a la barra que la ejerce. Dado que para esta geometría en concreto las dos varillas son perpendiculares entre sí, quiere decir que la fuerza que ejerce la barra 1 va en la dirección de la 2 y viceversa.

El ángulo que forma el vector $\vec{N}$ con la barra de la izquierda nos lo da el que el triángulo OCP es isósceles (dos de sus lados miden $L / 2$ ). Por tanto, el ángulo buscado es igual a $θ = Ω t$ . El ángulo que forma con la segunda barra será su complementario, $π / 2 - θ$ . Los módulos de las dos fuerzas valen entonces

$|\vec{F}_1| = |\vec{F}|\mathrm{sen}(\theta) = 2m\Omega^2L\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad |\vec{F}_2| = |\vec{F}|\cos(\theta) = 2m\Omega^2L\cos(\Omega t)$

En forma vectorial, estas fuerza van dirigidas perpendicularmente a las varillas. Si llamamos $\vec{u}_1$ el vector unitario a lo largo de la varilla de la izquierda y $\vec{u}_2$ al de la derecha, nos queda

$\vec{F}_1=-2m\Omega^2L\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_2\qquad\qquad \vec{F}_2=-2m\Omega^2L\,\mathrm{cos}(\Omega t)\vec{u}_1$

Obsérvese que los subíndices de los vectores unitarios están intercambiados respecto a los de las fuerzas, ya que en este caso la barra 1 ejerce la fuerza en la dirección de la barra 2 y viceversa.

Para pasar a la base cartesiana tenemos que

$\vec{u}_1=\cos(\theta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}\qquad \vec{u}_2=-\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}$

lo que nos da

$\vec{F}_1=2m\Omega^2L\left(\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\imath}-\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

y

$\vec{F}_2=2m\Omega^2L\left(-\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}-\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

3 Incluyendo el peso

Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda

$\vec{F}_1+\vec{F}_2 + m\vec{g} = m\vec{a}$

o, equivalentemente,

$\vec{F}_1+\vec{F}_2 = m\vec{a} - m\vec{g}$

Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad. Por ello podemos hallar las fuerzas debida a las barras como suma de 2

$\vec{F}_1 = \vec{F}_{1a}+\vec{F}_{1g}\qquad\qquad \vec{F}_2 = \vec{F}_{2a}+\vec{F}_{2g}$

tales que

$\vec{F}_{1a}+\vec{F}_{2a}=m\vec{a}\qquad \qquad \vec{F}_{1g}+\vec{F}_{2g}=-m\vec{g}$

Las dos primeras son las mismas que se calcularon en la sección anterior. Solo queda descomponer el peso (cambiado de signo) en suma de dos fuerzas perpendiculares a las barras.

El peso forma un ángulo $θ = Ω t$ con la barra 2 y su complementario con la barra 1. Por ello, se cumple

$|\vec{F}_{1g}| =mg\cos(\Omega t)\qquad |\vec{F}_{2g}| =mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)$

y, en forma vectorial

$\vec{F}_{1g}= mg\cos(\Omega t)\vec{u}_2\qquad\qquad \vec{F}_{2g}= mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_1$

En la base cartesiana

$\vec{F}_{1g}=mg\left(-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\cos^2(\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

y

$\vec{F}_{2g}=mg\left(\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\jmath}\right)$

La suma de estas dos da una fuerza constante en la dirección vertical, como corresponde al peso.

Sumando cada una con al correspondiente del apartado anterior obtenemos la fuerza ejercida por cada una de las barras.

$\vec{F}_{1}= \left(-2m\Omega^2L\,\mathrm{sen}(\Omega t)+mg\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_2$

y

$\vec{F}_{2}= \left(-2m\Omega^2L\,\mathrm{cos}(\Omega t)+mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_1$

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