Movimiento circular en 3D

De Laplace

Revisión a fecha de 18:30 7 nov 2013; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

$\vec{r}(t)=4B\cos(\Omega t)\vec{\imath}+ 5B\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}+3B\cos(\Omega t)\vec{k}$

con B y Ω constantes.

¿Qué trayectoria sigue la partícula?
¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

2 Trayectoria

Podemos identificar la trayectoria a partir de razonamientos puramente geométricos o empleando procedimientos cinemáticos.

2.1 Identificación geométrica

Si separamos las tres componentes del movimiento

$\vec{r}:\left\{\begin{array}{rcl} x & = &4C\cos(\Omega t) \\ y & = & 5C\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\ z & = & 3C\cos(\Omega t)\end{array}\right.$

De aquí es evidente que

$z = \frac{3}{4}x\qquad\Rightarrow\qquad 3x-4z =0$

Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como

$\vec{B}\cdot\vec{r}=0\qquad\qquad \vec{B}=\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{\jmath}$

El vector $\vec{B}$ es un vector constante ortogonal al plano de movimiento.

Además tenemos que se cumple

$x^2 + z^2 = 25C^2\cos^2(\Omega t)\qquad\qquad y^2 = 25C^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)$

y sumando estas dos

$x^2 + y^2 + z^2 = 25C^2\,$

que es la ecuación de una esfera de radio $R = 5 C$ .

la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular.

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2.1 Identificación geométrica

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