Coeficientes de inducción mutua y autoinducción (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 20:15 24 may 2013; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Flujo magnético
- 1.1 Autoinducción
- 1.2 Inducción mutua
2 Ley de Faraday
3 Caso de dos espiras
4 Transformador ideal

1 Flujo magnético

Uno de los principios básicos del magnetismo (expresado mediante la ley de Biot y Savart) es que una corriente eléctrica que circula por un circuito produce un campo magnético. En la mayoría de las situaciones, el campo magnético producido es proporcional a la intensidad corriente que lo produce.

El campo magnético verifica asimismo el principio de superposición: si tenemos diferentes corrientes, el campo total es la suma del que produce cada corriente por separado.

Dada una curva cerrada $Γ$ , se denomina flujo magnético a la cantidad

$\Phi_m = \int_S \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$

siendo S una superficie abierta apoyada en $Γ$ .

1.1 Autoinducción

Si tenemos una espira cerrada, por la cual circula una corriente $I$ , el flujo magnético a través de una superficie apoyada en la propia espira, será proporcional a la corriente que circula por ella

$\Phi_m = L I\,$

siendo $L$ el denominado coeficiente de autoinducción, cuya unidad es el Henrio (H)

$1\,\mathrm{H} = \frac{1\,\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{A}} = 1\,\Omega\cdot \mathrm{s}$

1.2 Inducción mutua

Si en lugar de una sola espira tenemos un conjunto de ellas, por las cuales circulan corrientes $I k$ , el flujo a través de una superficie $S i$ apoyada en la espira $i$ tendrá una contribución por cada una de las espiras

$\Phi_{mi} =\int_{S_i}\vec{B}_1\cdot \mathrm{d}\vec{S}_i + \int_{S_i}\vec{B}_2\cdot \mathrm{d}\vec{S}_i +\cdots = \sum_k L_{ik}I_k$

Las cantidades $L i k$ para $i\neq k$ se denominan coeficientes de inducción mutua. Se miden asimismo en Henrios. Para $i = k$ tenemos los coeficientes de autoinducción (del cual el sistema de una sola espira es un caso particular).

Los coeficientes de inducción mutua forman una matriz simétrica

$L_{ik}=L_{ki}\,$

en la que los términos diagonales son siempre estrictamente positivos, mientras que los no diagonales pueden tener cualquier signo o ser nulos.

Para conocer el signo de cada coeficiente debe aplicarse el criterio siguiente:

Para cada espira $Γ i$ se asigna un sentido de recorrido de la corriente.
La regla de la mano derecha establece el sentido de la normal $\vec{n}_i$ a la superficie $S i$ apoyada en $Γ i$ .
El campo magnético producido por la espira $Γ k$ verifica asimismo la regla de la mano derecha respecto de la corriente que lo produce.
El flujo del campo magnético es positivo si $\vec{B}$ y $\vec{n}$ van el mismo sentido y negativo en caso contrario.
Por tanto, si el campo $\vec{B}_k$ entra en la espira $i$ según la orientación dada por la regla de la mano derecha para esta espira, $L i k > 0$ . En caso contrario $L i k < 0$ .
Como caso particular, los coeficientes de autoinducción $L k k$ , son siempre positivos.

2 Ley de Faraday

La inducción electromagnética se basa en que, a lo largo de una espira $Γ$ , atravesada por un campo magnético cuyo flujo es variable en el tiempo, se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) dada por

$\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Esta es la llamada ley de Faraday. Si tenemos una espira cerrada $Γ$ , rígida, por la cual circula una corriente variable $I (t)$ , esta corriente, por la ley de Biot y Savart, producirá un campo magnético proporcional a ella. El flujo de este campo también variará en el tiempo, y por tanto inducirá una fuerza electromotriz, según la ley de Faraday

$\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\int_S \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = -\frac{\mathrm{d}(LI)}{\mathrm{d}t} = -L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$

La condición de rigidez es necesaria para poder extraer $L$ de la derivada.

Si en lugar de una espira tenemos $N$ espiras, rígidas y en una posición relativa fija, la f.e.m. que se induce en la espira $i$ tendrá contribuciones de cada una de las espiras

$\mathcal{E}_i = -\sum_k L_{ik}\frac{\mathrm{d}I_k}{\mathrm{d}t}$

Esta fuerza electromotriz inducida habrá que añadirla a otras posibles fuentes, como generadores de tensión.

3 Caso de dos espiras

Cuando solo tenemos dos espiras, el sistema se reduce a dos ecuaciones

$\begin{array}{rcl} \Phi_1 & = & L_{11}I_1+L_{12}I_2 \\\Phi_2 & = & L_{21}I_1+L_{22}I_2 \end{array}$

pero por las propiedades de simetría, esto se reduce a tres coeficientes

$L_{1}=L_{11}\qquad\qquad M = L_{12}=L_{21}\qquad L_2=L_{22}$

siendo $L 1$ y $L 2$ los coeficientes de autoinducción y $M$ el único coeficiente de inducción mutua. A partir de ellos se define el coeficiente de acoplamiento

$k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}$

Puede demostrarse que $k$ es un número menor que la unidad en valor absoluto.

$-1 \leq k \leq +1$

Cuando k es igual a la unidad (en valor absoluto) se dice que el acoplamiento es total. En ese caso todas las líneas de campo magnético que pasan por el interior de una espira, pasan también por el interior de la otra.

Así, en el caso de dos bobinas concéntricas las autoinducciones de cada bobina valen

$L_1 = \frac{\mu_0 N_1^2 \pi a^2}{h}\qquad\qquad L_2 = \frac{\mu_0 N_2 \pi b^2}{h}$

siendo $N 1$ y $N 2$ el numero de vueltas de la bobina interior y exterior, y $a$ y $b$ sus respectivos radios ( $b > a$ ).

El coeficiente de inducción mutua en este caso vale

$M = \frac{\mu_0 N_1N_2 \pi a^2}{h}$

siendo el coeficiente de acoplamiento

$k = \frac{\mu_0 N_1N_2 \pi a^2}{\sqrt{\mu_0N_1^2\pi a^2/h}\sqrt{\mu_0N_2^2\pi b^2/h}}=\frac{a}{b}$

Esta cantidad es siempre menor que la unidad, pues $a < b$ .

4 Transformador ideal

Un modelo muy simplificado de transformador es un conjunto de dos bobinas del mismo radio pero diferente número de espiras y montadas de forma que su acoplamiento es total. Esto puede conseguirse montando una sobre otra o, lo más usual, las dos alrededor de un núcleo de hierro que conduce el flujo magnético provocando que las líneas de campo que pasan por una bobina lo hagan por la otra.

Si $\phi\,$ es el flujo que atraviesa cada una de las espiras (el mismo en ambas bobinas), el flujo total en cada bobina será

$\Phi_1 = N_1\phi\qquad\qquad \Phi_2 = N_2\phi$

Si colocamos un voltímetro entre los bornes de cada bobina sus lecturas serán

$\Delta V_1 = \frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} = N_1\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \qquad\qquad \Delta V_2 = \frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} = N_2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$

y por tanto los dos voltajes son proporcionales

$\frac{\Delta V_2}{\Delta V_1}=\frac{N_2}{N_1}$

Esto quiere decir que si por la bobina 1 (el primario) se establece un voltaje dependiente del tiempo $Δ V 1$ , en la bobina 2 (el “secundario”) aparece un voltaje $Δ V 2$ , relacionado por el anterior solo por la proporción entre los números de espiras. Es decir, que no depende de cómo varía la señal del primario con el tiempo, con tal de que no sea constante. Si el número de vueltas del secundario es superior al del primario, el voltaje del secundario será mayor en la misma proporción. Esto quiere decir que mediante este dispositivo se puede aumentar o reducir el voltaje a voluntad. Por ello, éste es un transformador ideal.

Podría parece que si se puede incrementar el voltaje, se puede “fabricar” energía de la nada. No es así. De la igualdad en los flujos magnéticos se puede demostrar que en un transformador ideal

$\frac{I_2}{I_1}=\frac{N_1}{N_2}$

es decir, que si el voltaje aumenta, la intensidad de corriente disminuye en la misma proporción, cumpliéndose

$P_\mathrm{in}=I_1\,\Delta V_1 = I_2\,\Delta V_2 = P_\mathrm{out}$

(en realidad sale menos de la que entra, porque siempre hay disipación por efecto Joule).

Podemos preguntarnos entonces por la utilidad de un transformador. Una importante es precisamente cambiar la intensidad de la corriente. Supongamos que tenemos una central eléctrica situada a 100km de una ciudad. Para llevar la energía eléctrica desde la central es necesario hacerla circular por un tendido eléctrico, en el cual se disipa energía por efecto Joule. Si la intensidad de corriente por este tendido es demasiado alta, las pérdidas pueden constituir una parte importante del total producido (y también hay que pagarlas). Por ello se emplea una serie de transformadores en la propia central para elevar la tensión al máximo posible. Se hace circular la corriente por un tendido de alta tensión y en la proximidad de la ciudad se vuelve a bajar la tensión a valores domésticos. Esto solo se puede hacer si la señal es variable en el tiempo, por lo que es necesario el uso de corriente alterna.

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