Fuerzas magnéticas (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:51 13 may 2013; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Fuerza de Lorentz
- 1.1 Expresión
- 1.2 Trabajo magnético nulo
2 Fuerza sobre una corriente lineal
- 2.1 Rectilínea
- 2.2 De forma arbitraria
3 Fuerza y par sobre una espira

1 Fuerza de Lorentz

1.1 Expresión

Según se ve en el tema de electrostática, la fuerza eléctrica sobre una carga puntual en reposo viene dada por

$\vec{F}=q\vec{E}(\vec{r})$

Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza, que llamaremos fuerza magnética, verifica que es:

Proporcional a la carga
Proporcional al módulo de su velocidad
Perpendicular a la velocidad

Con estas condiciones, la fuerza magnética debe ser de la forma

$\vec{F}_m=q\vec{v}\times\vec{B}(\vec{r})$

siendo $\vec{B}$ un nuevo campo, conocido como campo magnético. La fuerza total sobre una carga puntual es entonces

$\vec{F}=q\left(\vec{E}(\vec{r})+\vec{v}\times\vec{B}(\vec{r})\right)$

Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se denomina Fuerza de Lorentz.

1.2 Trabajo magnético nulo

Una propiedad característica de la fuerza magnética sobre una carga magnética es que no realiza trabajo, por siempre normal a la velocidad.

$W = \int \vec{F}_m\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int(q\,\vec{v}\times\vec{B})\cdot(\vec{v}\,\mathrm{d}t)= q\int\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B})\,\mathrm{d}t)=0$

y por tanto permanece constante la energía cinética de una carga que se mueve en un campo magnético.

En términos de las componentes intrínsecas de la aceleración, tenemos que la fuerza es siempre normal a la velocidad y por tanto la aceleración tangencial es siempre nula

$\vec{F}_m=q\,\vec{v}\times\vec{B}\perp\vec{v}$ $\Rightarrow$ $a_t=0\,$

Si la aceleración tangencial es nula, la rapidez (módulo de la velocidad) permanece constante

$0=a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ $\Rightarrow$ $v=|\vec{v}|=\mathrm{cte}$

Una rapidez constante implica una energía cinética constante.

Esto quiere decir que una carga puntual que se mueve en el seno de un campo magnético podrá cambiar de dirección de la velocidad (esto es, su movimiento sí será acelerado), pero no se moverá ni más rápido ni más lento en ningún momento.

Hay que destacar que esta conclusión, que el campo magnético no realiza trabajo, es sólo cierta para una carga puntual sometida a la fuerza de Lorentz. Si tenemos una corriente eléctrica (formada por millones de partículas en movimiento) o un dipolo magnético (que también experimenta fuerzas magnéticas) no es cierto que la energía cinética permanezca constante. De hecho, los frenos magnéticos se basan en la disminución de la energía cinética por acción de un campo magnético.

2 Fuerza sobre una corriente lineal

En la naturaleza, raramente se presentan cargas puntuales individualmente. Lo habitual es que formen distribuciones de carga, con miles de millones de ellas en movimientos muy variados. En ese caso, la fuerza magnética sobre una distribución será la resultante de las fuerzas individuales

$\vec{F}=\sum_i q_i\left(\vec{v}_i\times\vec{B}(\vec{r}_i)\right)$

pero, como en otras ocasiones, este sumatorio no es nada útil, pues no conocemos, ni cuantas cargas hay, ni sus posiciones y velocidades. No obstante, podemos emplear esta expresión para deducir a partir de ellas expresiones más prácticas.

Cuando tenemos una corriente eléctrica, existe un movimiento neto de cargas, con una velocidad promedio en la dirección de la corriente. Si ésta se encuentra inmersa en un campo magnético, aparece una fuerza neta sobre la corriente, que sí puede ser medible.

2.1 Rectilínea

Por simplificar el cálculo, supongamos un segmento rectilíneo de longitud $l$ , sección $S$ por el cual circula una intensidad de corriente $I$ y que este segmento se encuentra sumergido en un campo magnético uniforme $\vec{B}_0$ Entonces, en rpomedio, tenemos un flujo de cargas positivas avanzando a lo largo del hilo. Cada una de ellas experimenta una fuerza magnética perpendicular al campo y a la velocidad, es decir, perpendicular a la corriente.

El valor de la fuerza neta será el producto de la cantidad de cargas en movimiento, por la velocidad promedio y por el campo magnético. Si consideramos un solo tipo de portadores, tales que hay N cargas por unidad de volumen, la carga total es

$Q= N(Ze)Sl\,$

y la fuerza neta

$\vec{F} = N(Ze)Sl \vec{v}\times \vec{B}$

pero

$I = JS = N(Ze)vS\,$

así que podemos expresar esta fuerza como

$\vec{F} = I(\Delta \vec{r})\times\vec{B}$

siendo $\Delta\vec{r}$ el vector que va del inicio al final del segmento.

En el caso particular de que la corriente sea perpendicular al campo, si suponemos que el campo va en la dirección del eje Z, y la velocidad en la del eje Y nos queda

$\vec{B}_0=B_0\vec{k}\qquad\qquad \Delta\vec{r}=l\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}=IlB_0\vec{\jmath}\times\vec{k}=IlB_0\vec{\imath}$

2.2 De forma arbitraria

El cálculo anterior es demasiado simple para una situación general, en la que podemos tener una distribución cualquiera de corriente en un hilo de cualquier forma. Más en general, la fuerza sobre un elemento de corriente es