Principios de la electrostática (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 09:46 15 abr 2013; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Concepto de electrostática
2 Ley de Coulomb
3 Principio de superposición
4 Campo eléctrico
5 Líneas de campo eléctrico

1 Concepto de electrostática

La Electrostática es la parte del electromagnetismo que estudia la interacción entre cargas eléctricas en reposo.

Por estar cargadas y a una cierta distancia, las partículas ejercen fuerzas eléctricas unas sobre otras. De acuerdo con la segunda Ley de Newton, el resultado de estas fuerzas debe ser un movimiento acelerado de las diferentes cargas. Supondremos que esto no ocurre porque actúan sobre ellas otras fuerzas no consideradas que retienen a las cargas en la misma posición.

A pesar de su aparente irrealidad (ya que una carga no puede mantenerse inmóvil flotando en el espacio), la electrostática posee una gran aplicación ya que no solo describe aproximadamente situaciones reales, sino porque sirve de fundamento para otras situaciones electromagnéticas. En el campo de la electrostática aparecen el principio de superposición, la ley de Gauss, el potencial eléctrico, la ecuación de Laplace… todos los cuales se utilizan más adelante.

La electrostática se subdivide en dos situaciones:

Electrostática en el vacío: Supone que las cargas están inmóviles flotando en el espacio.

Electrostática en medios materiales: Supone que las cargas se encuentran en el interior o en la superficie de medios materiales. A su vez, éstos se suelen clasificar en dos tipos:

Conductores: Son aquellos materiales (típicamente metálicos) que permiten el movimiento de cargas por su interior. En electrostática esto implica que las cargas se encuentran en equilibrio ya que pudiendo moverse no lo hacen.
Dieléctricos: Son aquellos materiales (típicamente plásticos) que no permiten el movimiento de cargas por su interior. En electrostática esto implica la existencia de cargas ligadas, que no pueden abandonar los átomos a los que pertenecen.

Aunque en la mayoría de los casos prácticos consideraremos cargas dentro de medios materiales, la electrostática en el vacío es válida como fundamento de todo lo que sigue, puesto que estos son vacío en su mayor parte.

2 Ley de Coulomb

La ley de Coulomb fue descubierta por Henry Cavendish, que no lo publicó. Varios años después, Coulomb redescubrió esta ley, publicándolo adecuadamente, por lo que recibe su nombre.

Es una ley física que nos describe la fuerza entre dos cargas puntuales en reposo. Nos dice que si tenemos dos cargas puntuales $q 1$ y $q 2$ situadas a una distancia $d 12$ , aparece una fuerza eléctrica entre ellas tal que:

Módulo

es proporcional al producto de las cargas.
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas.

Dirección

Es la de la recta que pasa por las dos cargas

Sentido

Depende del signo de las cargas

Cargas del mismo signo se repelen
Cargas de distinto signo se atraen

Matemáticamente esto se expresa como que la fuerza que produce la carga 1 sobre la 2 es

$\vec{F}_{1\to 2} = k_e \frac{q_1 q_2}{d_{12}^2}\vec{u}_{12}$

siendo $\vec{u}_{12}$ el vector unitario en la dirección de la recta que pasa por las dos cargas y lleva el sentido de la 1 a la 2, es decir, hacia fuera de las dos cargas. La fuerza que la 2 produce sobre la 1 se calculará del mismo modo, sustituyendo $\vec{u}_{12}$ por $\vec{u}_{21}$ que es el unitario opuesto.

Esta expresión es válida tanto si las cargas son del mismo signo como si son de signos opuestos. En el segundo caso, el producto de las cargas es negativo y resulta una fuerza atractiva.

La constante $k e$ universal que, por la forma en que se eligen las unidades en el SI tiene un valor exacto

$k_e = 8.9875517873681764\times 10^9\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}\simeq 9\times 10^{9}\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}$

siendo el segundo valor mucho más fácil de recorrar y con un error de solo el 0.1%.

Esta constante de proporcionalidad suele escribirse en la forma aparentemente más complicada

$k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k_e} \simeq 8.854\times 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}=8.854\frac{\mathrm{pF}}{\mathrm{m}}$

La razón de escribirlo de esta forma se halla en la ley de Gauss.

Si lo que conocemos son los vectores de posición de las dos cargas respecto a un sistema de referencia, podemos escribir la ley de Coulomb en función de estos vectores, ya que

$d_{12}=\left|\vec{r}_2-\vec{r}_1\right|\qquad\qquad \vec{u}_{12}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{\left|\vec{r}_2-\vec{r}_1\right|}$

y queda

$\vec{F}_{1\to 2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}$

Hay que destacar (porque es fuente de errores) el cambio del exponente del denominador de 2 a 3, al introducir una distancia más en la normalización del vector de posición relativo.

Como ilustración de la magnitud la fuerza eléctrica podemos considerar la atracción entre un protón y un electrón que se hallan a una distancia de un radio de Bohr (tamaño del átomo de hidrógeno)

$|q_p| = |q_e| = e = 1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}\qquad a_0 =5.29\times 10^{-11}\,\mathrm{m}$

Resulta un módulo de la fuerza

$|\vec{F}| = k_e\frac{e^2}{a_0^2} = \frac{9\times 1.6^2}{5.29^2}\times 10^{9-19-19+11+11}\mathrm{N} = 8.24\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$

Esta fuerza no parece excesivamente intensa, pero debemos tener en cuenta que actúa sobre un electrón, cuya masa es minúscula. La aceleración que produce esta fuerza es

$|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}|}{m} = \frac{8.24\times 10^{-8}}{9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}}=9.04\times 10^{22}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 9.22\times 10^{21}g$

Dicho de otra forma, la fuerza debida a un solo protón es 9000000000000000000000 veces la atracción gravitatoria debida a la Tierra entera.

Otra comparación posible es la de la fuerza eléctrica entre el protón y el electrón y la fuerza gravitatoria entre ellas. Su cociente vale

$\frac{F_e}{F_g}=\frac{k_e q_1q_2/d^2}{G m_1 m_2/d^2}=\frac{ke e^2}{G m_em_p} = 2.3\times 10^{39}$

es decir, la fuerza eléctrica es 2300000000000000000000000000000000000000 veces más intensa que la gravitatoria.

3 Principio de superposición

La ley de Coulomb nos da la fuerza entre dos cargas puntuales, pero no nos dice nada de qué ocurre si tenemos más de dos cargas o estas no son puntuales.

Por ejemplo, supongamos que tenemos tres cargas alineadas y queremos hallar la fuerza sobre una de las cargas de los extremos. ¿Cómo influye la presencia de la carga central? ¿Impide que las cargas de los extremos se “vean”, apantallándolas, o, por el contrario, no afecta a la fuerza entre ellas?

La evidencia es que ocurre lo segundo, lo que se puede expresar mediante el denominado principio de superposición:

Dado un sistema de cargas puntuales, la fuerza eléctrica sobre cada una de ellas es la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de las demás cargas, como si el resto de cargas no estuvieran presentes.

La última parte del enunciado es crucial. Es natural que la fuerza sobre una carga sea la suma de diferentes contribuciones, cada una debida a una carga diferente. Lo que es novedoso es que para calcular esa contribución podemos ignorar por completo la existencia del resto de cargas, es decir, podemos calcular cada término mediante la ley de Coulomb.

Así, si tenemos tres cargas, $q 1$ , $q 2$ y $q 3$ . La fuerza sobre la carga 1 será

$\vec{F}_1 = \vec{F}_{2\to 1} + \vec{F}_{3\to 1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2(\vec{r}_1-\vec{r}_2)}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3}+ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_3(\vec{r}_1-\vec{r}_3)}{|\vec{r}_1-\vec{r}_3|^3}$

Más en general, si tenemos un sistema de N cargas actuando sobre una carga $q 0$ , la fuerza sobre esta vendrá dada por la suma

$\vec{F}_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N \frac{q_0q_i(\vec{r}_0-\vec{r}_i)}{|\vec{r}_0-\vec{r}_i|^3}$

Es importante no confundir el principio de superposición de fuerzas electrostáticas con la resultante sobre un sistema de partículas. El principio de superposición nos da la fuerza sobre una sola carga, pero si queremos hallar la fuerza sobre un conjunto de cargas (un sólido con miles de cargas, por ejemplo), habrá que calcular la resultante y, si es preciso, el momento de las fuerzas.

4 Campo eléctrico

4.1 Definición

La expresión de la fuerza sobre una carga puntual debida a un sistema de N cargas puede factorizarse también en la forma

$\vec{F} = q_0\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N \frac{q_i(\vec{r}_0-\vec{r}_i)}{|\vec{r}_0-\vec{r}_i|^3}\right)$

y reescribirse como el producto

$\vec{F}=q_0\vec{E}(\vec{r}_0)\qquad\qquad \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N \frac{q_i(\vec{r}-\vec{r}_i)}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}$

siendo $\vec{E}(\vec{r})$ el campo eléctrico debido a las N cargas. Si examinamos la expresión vemos que en el campo eléctrico no aparece ninguna propiedad de la carga que experimenta la fuerza, ni su magnitud $q 0$ , ni su posición $\vec{r}_0$ . El campo eléctrico es consecuencia exclusivamente de la distribución de N cargas.

Matemáticamente, se trata de un campo vectorial que a cada punto del espacio $\vec{r}$ le asigna un vector $\vec{E}(\vec{r})$ .

Físicamente entendemos el campo electrostático como una perturbación en el espacio producida por la presencia de cargas eléctricas en reposo

El campo es un concepto primario. No se puede describir qué es el campo eléctrico, sino solo qué efectos produce sobre otras cargas.

Aunque hemos introducido el campo eléctrico a partir de un sumatorio, no es así como se define, ya que en general ni conocemos cuántas cargas tenemos ni dónde se encuentra cada una. Puede definirse de una manera operativa, esto es, dando un procedimiento para su medida. Para ello se considera una carga muy pequeña $q 0$ y se sitúa en un campo eléctrico. Con la medida de un dinamómetro se mide la fuerza sobre ella. Se define el campo eléctrico en la posición de la carga como

$\vec{E}(\vec{r})=\lim_{q_0\to 0}\frac{\vec{F}}{q_0}$

El límite se toma porque idealmente se considera que la carga que se coloca no debe afectar a lo que ya había, para lo cual debe ser lo más pequeña posible.

4.2 Reinterpretación de la ley de Coulomb

Una vez que tenemos el campo eléctrico creado por una carga puntual podemos reinterpretar la ley de Coulomb.

Tal como la formularon Cavendish y Coulomb, la fuerza entre cargas es una ley de acción a distancia. Tenemos dos cargas separadas y cada una percibe la presencia de la otra.

En términos del campo eléctrico, la fuerza la da una ley local. Una carga, positiva o negativa, por el hecho de existir crea una perturbación en el espacio que denominamos campo eléctrico. La segunda carga lo que percibe es el campo de la primera en el punto en que se encuentra, pero no “sabe” quién crea ese campo, si una carga puntual, o una esfera cargada, por ejemplo.

Matemáticamente, si tenemos una carga $q 1$ en $\vec{r}_1$ y situamos una carga $q 2$ en el punto $\vec{r}_2$ , la fuerza que experimenta es el producto de la carga por el campo en la posición que se encuentra

$\vec{F}_{1\to 2}= q_2\vec{E}_1(\vec{r}_2) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_2q_1\vec{u}_{12}}{d_{12}^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_2q_1(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}$

siendo $\vec{u}_{12}$ el vector unitario en la dirección de la recta que pasa por las dos cargas y en el sentido de la carga 1 a la 2. Esta es la conocida como ley de Coulomb para fuerzas entre cargas puntuales.

Dado que la fuerza es proporcional a la carga $q 2$ , si tenemos una carga $q 1$ positiva, la fuerza sobre $q 2$ será de repulsión si $q 2$ es positiva y de atracción si es negativa, aunque en los dos casos el campo de $q 1$ vaya hacia afuera.

La fuerza que experimenta la carga 1 se debe a que percibe el campo de la carga 2

$\vec{F}_{2\to 1}= q_1\vec{E}_2(\vec{r}_1) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_2\vec{u}_{21}}{d_{21}^2}$

Puesto que el producto de cargas es conmutativo, la distancia es la misma en los dos casos y el vector unitario tiene la misma dirección, pero sentido opuesto al anterior, se llega a que la ley de Coulomb cumple la tercera ley de Newton

$\vec{F}_{1\to 2} = -\vec{F}_{2\to 1}$

Asimismo obtenemos las propiedades:

Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo opuesto se atraen.
La fuerza entre cargas puntuales en reposo es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

La magnitud de la fuerza eléctrica es muy grande comparada con otras fuerzas de la naturaleza. Así, por ejemplo, para la fuerza entre un protón y un electrón (cargas $\pm e$ ) situados a una distancia $d$ tenemos

$F_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{d^2}$

La fuerza gravitatoria entre las dos partículas vale en módulo, de acuerdo con la ley de Gravitación Universal

$F_g = G\frac{m_pm_e}{d^2}$

La proporción entre las dos fuerzas es independiente de la distancia entre las partículas

$\frac{F_e}{F_g}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 G m_p m_p}$

Sustituyendo los valores de las cargas y masas del protón y del electrón y constantes queda

$\frac{F_e}{F_g}=2.27\times 10^{39}=2\,270\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$

Además, al ser esta proporción independiente de la distancia, quiere decir que la fuerza eléctrica entre un protón situado en la Tierra y un electrón situado en la Luna, tiene esta misma proporción respecto a la fuerza gravitatoria entre ellas. Podemos preguntarnos entonces, ¿por qué apreciamos entonces la fuerza gravitatoria? Es más ¿por qué los planetas y galaxias se mueven por fuerzas gravitatorias y no eléctricas?

La explicación está en el hecho de que hay dos signos de carga, pero solo una de masa. Esto quiere decir que el efecto de la gravedad es siempre acumulativo, cuanta más masa se reúne, mayor es la fuerza gravitatoria. Las cargas, en cambio, se cancelan mutuamente. La materia es esencialmente neutra, ya que hay tantas cargas positivas como negativas, por lo que la fuerza eléctrica sobre un objeto distante es prácticamente nula.

Para justificar esto, no obstante, debemos considerar el efecto de un conjunto de cargas.

4.3 Campo de una carga puntual

Particularizando el sumatorio, si tenemos una sola carga puntual situada en el origen de coordenadas ( $\vec{r}_1=\vec{0}$ ) el campo eléctrico producido por ella será

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\vec{r}}{|\vec{r}|^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\vec{u}_r$

Este campo es radial desde la carga. Va hacia afuera si esta es positiva (se dice que tenemos un manantial de campo) y hacia adentro si es negativa (tenemos un sumidero). El campo decae como el cuadrado de la distancia. A doble distancia, cuarta parte de campo.

(ilustraciones obra de Geek3 para Wikipedia).

5 Líneas de campo eléctrico

Como con cualquier otro campo, se pueden trazar las líneas de campo eléctrico, como aquellas curvas que son tangentes al campo eléctrico en cada punto. Estas curvas son soluciones de la ecuación diferencial

$\mathrm{d}\vec{r}=\vec{E}(\vec{r})\,\mathrm{d}\theta\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=\vec{E}(\vec{r})$

siendo $θ$ un parámetro que nos permite etiquetar los puntos de cada curva. Estas ecuaciones diferenciales suelen ser extremadamente complejas y no poseen soluciones analíticas salvo en los casos más triviales, por lo que su solución requiere el uso de ordenadores, como en el caso de las cuatro cargas representado más arriba.

Existe casos particulares importantes:

Un campo uniforme (independiente de la posición) tiene líneas de campo que son rectas paralelas. Este es el caso del campo eléctrico en el interior de un condensador plano.

Un campo central

$\vec{E}(\vec{r}) = E(r)\vec{u}_r\qquad \qquad (\mbox{campo central})$

en el cual el campo es siempre puramente radial, las líneas de campo son semirrectas radiales. Este es el caso del campo de una carga puntual, positiva o negativa,

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1 Concepto de electrostática

2 Ley de Coulomb

3 Principio de superposición

4 Campo eléctrico

4.1 Definición

4.2 Reinterpretación de la ley de Coulomb

4.3 Campo de una carga puntual

5 Líneas de campo eléctrico

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