Primera Prueba de Control 2012/13 (F1 G.I.A.)

De Laplace

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1 Posición de vértices y volumen de un paralelepípedo

Los puntos

O

,

A

,

B

y

C

son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que

O

y

A

se encuentran en un plano distinto al que contiene a

B

y

C

. Las coordenadas de estos puntos en un sistema de

referencia cartesiano son:

$O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,}$

medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores

$\vec{u}=\overrightarrow{OB}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{v}=\overrightarrow{OC}^\prime\mathrm{;}\quad\vec{w}=\overrightarrow{OO}^\prime.$

y calcule el volumen del paralelepípedo.

2 Movimiento instantáneo de una partícula

Una partícula $P$ se mueve respecto de un sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ de manera que en un cierto instante $t 0$ , su velocidad $\vec{v}$ y su aceleración $\vec{a}$ están descritas, respectivamente, por los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+\sqrt{3}\!\ \vec{k}\quad\mathrm{y}\quad\vec{a}=\vec{\imath}+\sqrt{5}\vec{\jmath}-\sqrt{3}\!\ \vec{k}\mathrm{,}$

con sus componentes medidas en $m / s 2$ . Determine, en el instante considerado, las siguientes magnitudes cinemáticas:

Módulo de la velocidad (celeridad) y su derivada.
Componente normal de la aceleración y radio de curvatura de la trayectoria.
Vector aceleración normal.

3 Particula ensartada en aro horizontal

Una partícula

P

de masa

m

se mueve ensartada en un aro de radio

R

, contenido en el plano cartesiano

O X Y

, y cuyo centro se encuentra en un punto de dicho plano, de coordenadas

C (R,0,0)

. La partícula, que en el instante

inicial ( $t = 0$ ) se encuentra en el punto $A$ de coordenadas $A (2 R,0,0)$ , se mueve de manera que el ángulo $\varphi$ que forma el radiovector $\vec{r}=\overrightarrow{OP}$ con el eje $O X$ varía en el tiempo con velocidad angular constante,