Gradiente

De Laplace

Revisión a fecha de 12:12 5 oct 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Definición
2 Propiedades
3 Componentes en una base
4 Ejemplos

1 Definición

De la definición de derivada direccional resulta que dado un campo escalar, continuo y derivable, para cada punto del espacio existen infinitas derivadas direccionales, una por cada dirección. Resulta además que el concepto de derivada direccional depende tanto del campo escalar como de la dirección elegida.

¿Existe alguna cantidad, independiente de la dirección, que permita calcular las derivadas direccionales, sin necesidad de hallar infinitas cantidades para cada punto.

La respuesta la da el gradiente: Para un campo escalar $\phi\,$ y un punto $P$ , el gradiente $\nabla\phi$ del campo en dicho punto es el único vector, dependiente exclusivamente del campo, tal que para cualquier dirección $\mathbf{v}$ , la derivada direccional de $\phi\,$ en $P$ viene dada por el producto escalar

$\frac{\partial \phi}{\partial v} = \nabla\phi\cdot \mathbf{v}$

Equivalentemente, el gradiente puede definirse como el único vector tal que para cualquier desplazamiento diferencial \mathrm{d}\mathbf{r}, el incremento diferencial de $\phi\,$ vale

$\mathrm{d}\phi = \nabla\phi\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

No demostraremos que esta definición implica que dicho vector existe y además es único.

2 Propiedades

A partir de la definición, pueden demostrarse varias propiedades generales que no requieren el uso de ningún sistema de coordenadas:

El gradiente es ortogonal a las superficies equiescalares

Sea un punto $P$ en el que está definido el campo $\phi\,$ y consideremos una dirección tangente a una superficie equiescalar. La derivada direccional en dicha dirección es nula pues el valor del campo no cambia si nos movemos sobre una superficie equiescalar

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \frac{\partial\phi}{\partial v}=\frac{\mathrm{d}\phi}}{|\mathrm{d}\mathbf{r}|} = \frac{0}{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}=0

Pero, por otro lado,

$\frac{\partial\phi}{\partial v}=\nabla\phi\cdot\mathbf{v}$

Por tanto

$\nabla\phi\cdot\mathbf{v} = 0$ $\Rightarrow$ $\nabla\phi \perp \mathbf{v}$

para todas las direcciones tangentes a la superficie equiescalar. Si el gradiente es perpendicular a todas las direcciones tangentes a la superficie equiescalar, se deduce que es un vector perpendicular a la superficie equiescalar en dicho punto.

De esta propiedad se deduce que el plano tangente a una superficie equiescalar en un punto $\mathbf{r}_0$ tiene la ecuación vectorial

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \Pi:\quad \left.\nabla\phi\right|_{\mathbf{r}_0\cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right)=0

El gradiente apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima

El gradiente es nulo en los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de silla)

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