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Cálculo de flujo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Para el campo vectorial

\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,

calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

  1. Un cubo de arista a, con un vértice en el origen y aristas a\mathbf{u}_{x}, a\mathbf{u}_{y} y a\mathbf{u}_{z}.
  2. Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z como eje y sus bases situadas en z = 0 y z = h.
  3. Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.

En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

2 Solución

2.1 Superficie cúbica

Para el flujo a través de un cubo, descomponemos la integral en seis partes, una por cada cara.

2.1.1 Cara inferior

Cara inferior
Para la cara inferior (z = 0), el campo en estos puntos vale
\mathbf{A}(z=0) = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}

y el vector diferencial de superficie dirigido al exterior

\mathrm{d}\mathbf{S} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}

Al ser ortogonales estos dos vectores el flujo elemental vale

\Phi_1 = \int \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \int_0^a \int_0^a 0\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = 0

2.1.2 Cara superior

Cara superior
En la cara superior (z = a) el vector \mathbf{A} vale
\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+a\mathbf{u}_{z}

y el diferencial de superficie

\mathrm{d}{\mathbf{S}}= \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}

y resulta el flujo elemental

\Phi_2 = \int_0^a\int_0^a a\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}= a^3

2.1.3 Cara trasera

Para la cara del fondo (x = 0)

\mathbf{A}(x=0) = -y\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}

con lo que el flujo elemental es

\Phi_3 = \int_0^a\int_0^a y \,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}= \frac{a^3}{2}
Cara trasera            Cara frontal

2.1.4 Cara frontal

Para la cara frontal (x = a)

\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}


\Phi_4 = \int_0^a\int_0^a (a-y)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = \frac{a^3}{2}

2.1.5 Cara izquierda

Para la cara izquierda (y = 0)

\mathbf{A} = x\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}


\Phi_5 = -\int_0^a\int_0^a x\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = -\frac{a^3}{2}
Cara izquierda            Cara derecha

2.1.6 Cara derecha

Para la cara derecha (y = a)

\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}


\Phi_6 = \int_0^a\int_0^a (x+a)\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = \frac{3a^3}{2}

Sumando las seis contribuciones tenemos el flujo total

\Phi = 0+a^3 + \frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{3a^3}{2} = 3a^3

Este mismo cálculo, por aplicación del teorema de Gauss queda

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = 1+1+1 = 3


\Phi = \int_0^a\int_0^a\int_0^a 3 \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = 3a^3 = 3\tau

Dado que la divergencia es una constante, su integral de volumen es simplemente el producto de esta constante (3) por el volumen del dominio.

2.2 Superficie cilíndrica

2.3 Superficie esférica

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_flujo"

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