Potencial y energía electrostática (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:58 28 may 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Trabajo y energía potencial
- 1.1 Trabajo para mover una carga eléctrica
- 1.2 Energía potencial electrostática
2 Potencial eléctrico
3 Energía electrostática de un sistema

1 Trabajo y energía potencial

1.1 Trabajo para mover una carga eléctrica

Supongamos que tenemos una carga positiva “1” en una posición fija del espacio, y deseamos acercar otra carga positiva “2” desde un punto A a un punto B más próximo a la primera. Para hacerlo debemos vencer la repulsión eléctrica ejercida por la primera, aplicando una fuerza externa.

Por tanto, para acercar la carga debemos realizar un trabajo

$W_\mathrm{in}=\int_A^B \vec{F}_\mathrm{ext}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

De acuerdo con el primer principio de la termodinámica, este trabajo realizado sobre el sistema, o bien se almacena como un aumento de la energía total, o bien sale en forma de calor (o una parte de cada cosa)

$W_\mathrm{in}=\Delta E + Q_\mathrm{out}\,$

Si el proceso es cuasiestático, moviendo la carga 2 de forma extremadamente lenta, este trabajo se almacena en forma de energía potencial (que es parte de la energía total). Podemos verlo con el siguiente experimento mental: si una vez en la posición final B, sujetamos la carga 2 con una chincheta y esperamos un cierto tiempo, tras el cual la liberamos, la carga 2 sale disparada por la repulsión de la 1. Al hacerlo, gana energía cinética, ¿de dónde sale esta energía? No vale decir que se la da la carga 1 por su fuerza eléctrica, pues la energía se conserva y la carga 1 no pierde nada. Concluimos entonces, que la carga 2 ya tenía esa energía “guardada” en forma de energía potencial por el hecho de estar en presencia de la 1.

Usando la analogía mecánica, sería equivalente a comprimir un muelle (invisible), realizando para ello una fuerza en contra de la elástica. Se sujeta el muelle con un tope y pasado un tiempo, se retira éste. El muelle se estira empujando la masa, que se acelera. Podemos decir que la energía cinética que gana procede de la energía potencial elástica que tenía por estar el muelle comprimido.

Este razonamiento es generalizable al movimiento de una carga en un campo eléctrico cualquiera (no necesariamente el de una sola carga, sino el de una distribución). Al mover la carga debemos realizar un trabajo, que queda guardado como energía potencial electrostática.

1.2 Energía potencial electrostática

Para hallar una expresión para la energía potencial suponemos que movemos una carga el seno de un campo eléctrico de manera cuasiestática. Para ello debemos ejercer una fuerza que supere a la eléctrica, pero solo ligeramente (pues la partícula no se llega a acelerar)

$\vec{F}_\mathrm{ext}+\vec{F}_e = \overbrace{m\vec{a}}^{=\vec{0}}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_\mathrm{ext}=-\vec{F}_e = -q\vec{E}$

por lo que el trabajo realizado es

$W_\mathrm{in} = -\int_A^B q\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

En principio, esta integral depende del camino que se recorra. Sin embargo, para el caso del campo de una carga puntual es fácil demostrar (como veremos) que solo depende de la distancia inicial y final a la carga que crea el campo. Puesto que todo campo electrostático es suma de campos de cargas puntuales, se llega a que para cualquier campo electrostático, la integral es independiente del camino y equivale al incremento de una energía potencial

$\Delta U_\mathrm{e} = U_{\mathrm{e}B}-U_{\mathrm{e}A}=-\int_A^B q\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Definimos entonces la energía potencial de una carga puntual en un campo eléctrico como la integral

$U_A = -q\int_O^A \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

siendo O un punto de referencia al cual se le asigna energía potencial 0. Para campos debidos a distribuciones localizadas de carga se suele tomar el infinito como referencia. En problemas concretos se puede elegir otro punto que sea más conveniente. Es importante, a la hora de resolver un problema que, una vez elegido el punto de referencia, este no se cambie.

La energía potencial electrostática puede ser tanto positiva como negativa, y su incremento puede tener también los dos signos.

Si acercamos una carga positiva a otra carga positiva (o en general a un campo que la repele) debemos hacer un trabajo positivo y la energía potencial aumenta.
Si en el mismo campo anterior la carga que acercamos es negativa, resulta un trabajo negativo y una disminución de la energía potencial. ¿Cómo se explica esto físicamente? En este caso, el campo atare a la carga, por lo que la fuerza que debemos hacer es para retenerla e impedir que se acelere. Esto nos permite extraer energía de la carga (que disipamos por rozamiento, o guardamos en algún tipo de acumulador, como puede ser un resorte o un tubo de aire comprimido).

2 Potencial eléctrico

2.1 Definición

La energía potencial electrostática depende no solo del campo eléctrico, sino también del valor de la carga que situamos en él. Para un mismo campo eléctrico, una carga $q$ alamacena una cierta energía, y una $2 q$ almacenará el doble, y una $- q$ tendrá una energía del signo opuesto. Nos preguntamos entonces como podemos definir una cantidad similar a la energía potencial, pero que dependa solo del campo existente, y no de la carga que situamos.

Puesto que la energía potencial electrostática de una carga es proporcional al valor de ésta, podemos definir el potencial eléctrico en el punto P, de manera análoga a como se dfine el campo eléctrico,como

$V_P = \lim_{q_0\to 0}\frac{U_{\mathrm{e}P}}{q_0}$

es decir, el potencial eléctrico representa la energía potencial por unidad de carga. Se mide en J/C y a esta unidad se la denomina voltio (V).

Sustituyendo la expresión de la energía potencial queda la expresión alternativa, y más frecuente,

$V_P = -\int_O^P \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

siendo $\vec{E}$ el campo eléctrico existente (sin incluir el de la carga que movemos). El punto O es el origen de potencial, para el cual se considera que el potencial eléctrico es nulo. El origen de potencial se denomina normalmente “tierra” (porque normalmente el suelo funciona como referencia de potencial) y decir que un conductor “está a tierra” equivale a decir que su potencial es cero (también se dice “está a masa”).

De esta relación entre campo y potencial se deduce que el campo eléctrico también se puede medir en V/m (que de hecho es su unidad más habitual) siendo 1 V/m = 1 N/C.

El potencial eléctrico respecto a la energía potencial electrostática viene a ser análogo a la altura respecto a la gravitatoria. La energía potencial gravitatoria depende de la masa que subamos, pero la altura es independiente de ella. El origen de potencial sería el nivel que tomemos como referencia (el suelo, por ejemplo). En esta analogía, cuando se ve que la corriente eléctrica fluye de más a menos potencial, sería análogo a decir que el agua por una tubería va “cuesta abajo” y una fuente de tensión que sube el potencial de una carga equivaldría a una bomba que eleva el agua hasta una cierta altura.

Al potencial eléctrico se lo denomina también voltaje y tensión.

2.2 Diferencia de potencial

En muchas situaciones no estamos interesados tanto en el valor del potencial, sino en cuanto cambia de un punto a otro. Esto se mide con la diferencia de potencial (d.d.p.)

$V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

o, intercambiando los subíndices

$V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Esta integral es independiente del camino que se elija para ir de A a B (aunque alguno hay que elegir). Se denomina también caída de tensión.

La diferencia de potencial se mide en voltios, como el propio potencial eléctrico.

La diferencia de potencial se relaciona directamente con el trabajo para mover una carga puntual, ya que

$W_{A\to B}= U_{\mathrm{e}B}-U_{\mathrm{e}A} = qV_B - q V_A = q(V_B-V_A)\,$

es decir, el trabajo para mover una carga entre dos puntos en un campo externo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los puntos. Si la carga es positiva, es necesario realizar un trabajo positivo para subir su potencial (su “altura”) y negativo para bajarlo. Al contrario, si la carga es negativa.

2.3 Potencial de una carga puntual

A partir del campo eléctrico de una carga puntual situada en el origen de coordenadas

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\vec{u}_r$

Podemos hallar el potencial eléctrico considerando el origen de potencial en el infinito. Integrando a lo largo de un camino rectilíneo radial

$\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}r\,\vec{u}_r$

y queda, para un punto situada a una distancia $r$ de la carga

$V(r) = -\int_\infty^r \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$

Más en general, para una carga situada en un punto arbitrario, el potencial será la cantidad escalar

$V_P = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 d_{qP}}$

siendo $d q P$ la distancia entre la carga y el punto P.

Del mismo modo, la diferencia de potencial depende solamente de las distancias inicial y final a la carga

$V_B-V_A = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{d_{qB}}-\frac{1}{d_{qA}}\right)$

2.4 Potencial de una distribución

3 Energía electrostática de un sistema

Potencial y energía electrostática (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Trabajo y energía potencial

1.1 Trabajo para mover una carga eléctrica

1.2 Energía potencial electrostática

2 Potencial eléctrico

2.1 Definición

2.2 Diferencia de potencial

2.3 Potencial de una carga puntual

2.4 Potencial de una distribución

3 Energía electrostática de un sistema

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