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Energía electrostática de superficies esféricas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule la energía electrostática almacenada en las siguientes distribuciones de carga:

  1. Una superficie esférica de radio a sobre la cual hay distribuida uniformemente una carga Q.
  2. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas uniformemente cargas + Q y − Q respectivamente.
  3. Dos superficies esféricas concéntricas de radios a y b (a < b) sobre las cuales hay distribuidas cargas con densidades + σ0 y − σ0 respectivamente.

2 Introducción

La energía electrostática de una densidad de carga superficial es una generalización de la energía d eun sistema de cargas puntuales

U = \frac{1}{2}\int \sigma_s V\,\mathrm{d}S

donde σs es la densidad superficial de carga y V es el potencial eléctrico en los puntos donde se encuentra esta. Este potencial eléctrico es debido a todas las fuentes de campo eléctrico que haya, no solo el debido a la propia densidad superficial.

3 Una superficie esférica

Una superficie esférica cargada uniformemente produce el potencial eléctrico

V(r)=\begin{cases} \displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} & r \leq R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > R \end{cases}

Para hallar la energía debemos calcular la integral

U = \frac{1}{2}\int \sigma_s V\,\mathrm{d}S

sobre los puntos de la superficie esférica. En estos puntos el potencial vale

V(r=R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}

y la densidad de carga es igual a

\sigma_s=\frac{Q}{4\pi R^2}

lo que nos da la energía

U = \frac{1}{2}\int \left(\frac{Q}{4\pi R^2}\right)\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\right)\mathrm{d}S=\frac{1}{2}\left(\frac{Q}{4\pi R^2}\right)\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\right)\int \mathrm{d}S=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}

A la vista del resultado podemos extraer una serie de conclusiones:

  • La energía electrostática es independiente del signo de la carga. Una esfera cargada negativamente tiene una energía positiva.
  • La energía electrostática es siempre positiva (o nula en el caso de una esfera descargada).
  • La energía es cuadrática con la carga. Esto quiere decir que si una esfera de 1cm almacena una carga de 1nC, la energía electrsática es de 0.9μJ, pero si queremos almacenar 1&muC; (1000 veces más carga) necesitamos multiplicar la energía no por 1000 veces sino por 1.000.000 veces.
  • La energía es inversamente proporcional al radio de la esfera y no es proporcional a su volumen. Esto quiere decir que si aumentamos el radio al doble la energía no se multiplica por 8, sino que por el contrario se reduce a la mitad.

4 Dos superficies con cargas opuestas

5 Dos superficies con densidades opuestas

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Energ%C3%ADa_electrost%C3%A1tica_de_superficies_esf%C3%A9ricas"

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