Calculo gráfico de velocidad media

De Laplace

Revisión a fecha de 13:36 14 nov 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

La velocidad de una partícula en un movimiento rectilíneo sigue aproximadamente la gráfica de la figura cuando se representa frente al tiempo.

¿Cuánto vale aproximadamente la velocidad media entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=12\,\mathrm{s}$ ?
¿Cuánto vale la distancia total recorrida por la partícula en el mismo intervalo?

2 Velocidad media

la velocidad media es igual al desplazamiento neto en el intervalo dividida por la duración de éste

$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

siendo el desplazamiento neto la suma de los desplazamientos infinitesimales

$\Delta x = \int_0^{\Delta t} v\,\mathrm{d}t$

Esta integral se puede hallar gráficamente. Es igual al área de la figura delimitada por la curva y el eje de abscisas, teniendo cuidado de que las partes que queden por debajo del eje contribuyen negativamente, ya que corresponden a un periodo en el cual la partícula está retrocediendo.

$\int_0^{\Delta t}v\,\mathrm{d}t = S_1 - S_2$

Cada una de las figuras es un trapecio, cuya área es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por la altura. también puede hallarse como suma de triángulos y rectángulos

$S_1 = \frac{(B+b)}{2}h= \left(\frac{8\,\mathrm{s}+2\,\mathrm{s}}{2}\right)\left(4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=20\,\mathrm{m}$ $S_2 = \frac{(B+b)}{2}h= \left(\frac{4\,\mathrm{s}+1\,\mathrm{s}}{2}\right)\left(2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=5\,\mathrm{m}$

con lo que el desplazamiento neto es

$\Delta x = 20\,\mathrm{m}-5\,\mathrm{m} = 15\,\mathrm{m}$

y resulta la velocidad media

$v_m = \frac{15\,\mathrm{m}}{12\,\mathrm{s}}=1.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

3 Distancia total

La distancia total recorrida no es igual al desplazamiento neto, ya que contribuyen positivamente todos los desplazamientos, sean de avance o de retroceso

$\Delta s = \int_0^{\Delta t} |v|\,\mathrm{d}t$

Gráficamente, esto equivale a contar todas las áreas como positivas

$\Delta s = S_1 + S_2 = 20\,\mathrm{m}+5\,\mathrm{m}= 25\,\mathrm{m}$

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