Sistema de dos bloques conductores

De Laplace

Revisión a fecha de 23:42 1 sep 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Coeficientes de capacidad
3 Estado de equilibrio inicial
4 Estado de equilibrio final
5 Transitorio

1 Enunciado

2 Coeficientes de capacidad

La forma más sencilla de calcular los coeficientes de capacidad e inducción es mediante el circuito equivalente.

El circuito equivalente está formado por dos nodos y tres condensadores. Los nodos representan a los dos bloques. Los condensadores son uno de capacidad $\overline{C}_{12}$ entre ambos nodos y que representa las líneas de campo que van de un bloque a otro, y dos condensadores $\overline{C}_{11}$ y $\overline{C}_{22}$ , que representan las líneas de campo que conectan cada bloque con la caja exterior.

Para hallar los valores de las capacidades, despreciamos los efectos de borde, por lo que se pueden tratar como una asociación de condensadores planos. Si tomamos como unidad un condensador cuya superficie sea un rectángulo de 25 mm×50 mm y distancia entre placas 1 mm, con capacidad

$C_0 = \frac{\varepsilon S}{a} = \frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(25\times 10^{-3}\mathrm{m})(25\times 10^{-3}\mathrm{m})}{10^{-3}\mathrm{m}}=37.5\,\mathrm{pF}$

Entonces, el condensador que forman los dos bloques tiene el doble de esta área y por tanto el doble de capacidad

$\overline{C}_{12}=2C_0 = 75\,\mathrm{pF}$

Los que forma cada bloque con la caja exterior equivale a 6 veces el condensador unidad (2 veces en la cara cuadrada y las 4 caras laterales)

$\overline{C}_{11}=\overline{C}_{22}=6C_0 = 225\,\mathrm{pF}$

Una vez que tenemos las capacidades es inmediato hallar los coeficientes de capacidad

$C_{12}=C_{21}=-\overline{C}_{12}=-75\,\mathrm{pF}$ $C_{11}=\overline{C}_{11}+\overline{C}_{12} = 300\,\mathrm{pF}$ $C_{22}=C_{11}=300\,\mathrm{pF}$

o, en forma matricial

$\mathsf{C}=\begin{pmatrix} 300 & -75 \\ -75 & 300\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

3 Estado de equilibrio inicial

En el estado inicial conocemos la carga de los dos conductores

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): Q_1 = 18\,\mathrm{nC}\qquad Q_2 = 0\,\mathrn{nC}

y se trata de hallar las respectivas tensiones. Si expresamos la carga en picoculombios, el voltaje en voltios y la capacidad en picofaradios, nos queda el sistema