Sistema de dos bobinas reales

De Laplace

Revisión a fecha de 21:01 1 jul 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Resistencias y coeficientes
3 Evolución de la corriente
4 Voltaje en el secundario
5 Energía total disipada
6 Campo eléctrico inducido

1 Enunciado

Se arrolla un hilo de cobre de sección circular de diámetro $d_1=1\,\mathrm{mm}$ y longitud $l_1=30\,\mathrm{m}$ sobre un cilindro de cartón (no magnético) de radio $a=1.5\,\mathrm{cm}$ . El hilo se arrolla densamente, de forma que no queden intersticios entre vuelta y vuelta. Sobre esta capa (el primario) se arrolla otra (el secundario), en el mismo sentido, de hilo de cobre de diámetro $d_2=0.5\,\mathrm{mm}$ y longitud $l_2=60\,\mathrm{m}$ . Los extremos del secundario se dejan en circuito abierto, mientras que los del primario se conectan a una fuente de intensidad que proporciona una corriente constante $I_0=100\,\mathrm{mA}$ . En $t = 0$ se cortocircuita la fuente de intensidad mediante un hilo de resistencia despreciable.

Calcule las resistencias y los coeficientes de inducción mutua y autoinducción del sistema de dos bobinas.
Determine la expresión de la corriente que circula por el primario como función del tiempo, una vez que se ha cortocircuitado la fuente. ¿Cuánto tiempo tarda, aproximadamente, en desaparecer la corriente?
Calcule el voltaje $Δ V 2 (t)$ que mide un voltímetro situado entre los extremos del secundario.
Calcule la energía total disipada en el sistema durante el periodo transitorio en que la corriente se está atenuando hasta desaparecer.
Determine, por aplicación de la ley de Faraday, el campo eléctrico que se induce durante el transitorio, tanto en el interior del cilindro como en puntos exteriores próximos a éste, sabiendo que es de la forma $\mathbf{E}=E(\rho)\mathbf{u}_\varphi$ .

2 Resistencias y coeficientes

2.1 Resistencias

Los dos hilos son conductores filiforme, cuya resistencia puede calcularse mediante la fórmula

$R=\frac{l}{\sigma S}$

Para la primera bobina, la longitud y la conductividad valen

$l_1 = 30\,\mathrm{m}\qquad\qquad \sigma = 5.9\times 10^7\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}$

mientras que su sección es

$S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = 7.85\times 10^{-7}\mathrm{m}^2 = 0.785\,\mathrm{mm}^2$

lo que nos da una resistencia

$R_1 = \frac{l_1}{\sigma S_1} = 0.647\,\Omega$

El segundo hilo tiene el doble de longitud y la cuarta parte de la sección, por lo que su resistencia es el óctuple de la anterior

$R_2 = 8R_1 = 5.18\,\Omega$

2.2 Coeficientes de autoinducción

Al enrollarlos, cada uno de los cables forma una bobina cilíndrica.

El número de vueltas de cada bobina lo obtenemos dividiendo la longitud total por la longitud de cada vuelta

$N_1 = \frac{l_1}{2\pi a}=318\,\mathrm{vueltas}$

Para el secundario suponemos despreciable el milímetro que se añade en el grosor, lo que nos da el número de vueltas

$N_2 = \frac{l_2}{2\pi a} = 637\,\mathrm{vueltas}$

La altura de cada bobina, por estar arrolladas densamente, es igual al número de vueltas multiplicado por el grosor de cada una, que es el diámetro del cable

$h = h_1 = h_2=N_1 d_1 = 0.318\,\mathrm{m}$

El secundario tiene la misma altura, por ser el cable de doble longitud y mitad de diámetro.

Al ser su altura 20 veces su radio, podemos hacer la aproximación de bobinas largas y calcular su coeficiente de autoinducción según la fórmula

$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{h}$

Aquí $S$ no es la sección transversal del cable, calculada anteriormente, sino la de la bobina circular

$S = \pi a^2 = 7.07\times 10^{-4}\,\mathrm{m}^2$

Esto nos da el coeficiente de autoinducción para el primario

$L_1 = \frac{\mu_0 N_1^2 S}{h_1}= 2.83\times 10^{-4}\,\mathrm{H}=283\,\mu\mathrm{H}$

Para el secundario el cálculo es idéntico salvo que el número de espiras es el doble

$L_2 = 4L_1 = 1.13\,\mathrm{mH}$

Podemos calcular estos coeficientes omitiendo los cálculos números intermedios

$L_1 = \frac{\mu_0 N_1^2 S}{h}=\frac{\mu_0 N_1 \pi a^2}{d_1}= \frac{\mu_0 l_1 a}{2d_1}$

que, sustituyendo, nos da el valor que ya conocemos.

2.3 Coeficiente de inducción mutua

Para el coeficiente de inducción mutua, podemos emplear varios métodos de cálculo:

A partir del coeficiente de acoplamiento: Por la disposición de las dos bobinas, todo el flujo de una pasa a través de la otra, por lo que el coeficiente de acoplamiento es la unidad

$1 = k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}\qquad\Rightarrow\qquad M = \sqrt{L_1L_2}=\sqrt{4L_1^2} = 2L_1 = 565\,\mu\mathrm{H}$

A partir del flujo magnético: El flujo a través del secundario del campo magnético debido al primario es $N 2$ veces el que atraviesa cada espira

M I 1 = Φ 21 = N 2 φ

y para el mismo campo, el flujo que atraviesa la propia bobina 1 es

N 1

veces el que atraviesa cada una de las espiras

L 1 I 1 = Φ 11 = N 1 φ

Dividiendo una expresión por la otra

$\frac{M}{L_1}=\frac{N_2}{N_1}\qquad \Rightarrow\qquad M = \frac{N_1N_2\pi a^2}{h}=565\,\mu\mathrm{H}$

Este coeficiente también puede hallarse explícitamente empleando el valor del campo magnético producido por una de las bobinas, y hallando el flujo a través de la otra.

En forma matricial tenemos

$\mathsf{L}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}283\,\mu\mathrm{H}$

3 Evolución de la corriente

4 Voltaje en el secundario

5 Energía total disipada

6 Campo eléctrico inducido

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1 Enunciado

2 Resistencias y coeficientes

2.1 Resistencias

2.2 Coeficientes de autoinducción

2.3 Coeficiente de inducción mutua

3 Evolución de la corriente

4 Voltaje en el secundario

5 Energía total disipada

6 Campo eléctrico inducido

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