6.5. Disco apoyado en placa

De Laplace

Revisión a fecha de 18:00 22 dic 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Centros instantáneos de rotación
3 Reducciones cinemáticas

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado $L$ , que desliza sobre el eje $O 1 X 1$ , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio $R$ , que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O 1 Y 1$ en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes $A X 0 Y 0$ , definido de tal modo que el eje $A Y 0$ contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje $A X 0$ es tangente a dicho disco (sólido “0”).

Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I 21$ , $I 20$ , $I 03$ , $I 23$ e $I 01$ .
Utilizando como parámetro el ángulo $θ$ del dibujo (ángulo que forma el eje $A X 0$ con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: $\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}$ , $\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}$ , $\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}$ y $\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}$ .

2 Centros instantáneos de rotación

Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.

Movimiento {21}: Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR $I 21$ es el punto de contacto B entre el disco y la pared

$I_{21}=B\,$

Movimiento {20}: El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad $\vec{v}^C_{20}$ , este punto es el CIR de este movimiento

$I_{20}=C\,$

Movimiento {30}: Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello

$I_{30}=A\,$

Movimiento {31}: La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
Movimiento {01}: Por el teorema de los tres centros $I 01$ se encuentra alineado con el $I 21$ y el $I 20$ . Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el $I 31$ y el $I 30$ . Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR $I 01$
Movimiento {32}: Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. $I 32$ está alineado con $I 30$ e $I 20$ ., esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con $I 31$ e $I 21$ , es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje $O Y 1$ . La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, $I 32$ .

3 Reducciones cinemáticas

Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.

Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

$\vec{v}^C_{20}=\vec{0}$

También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}

$\omega_{03}=\dot{\theta}$

Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que

$\omega_{31}=0\,$

Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}

$\omega_{01}=\omega_{03}+\omega_{31}=\dot{\theta}\,$

Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto B, de tangencia del disco con la pared. Este punto posee velocidad nula en el movimiento {21} por ser el contacto de rodadura sin deslizamiento. Por otro lado

$\vec{0} = \vec{v}^B_{21} = \vec{v}^C_{21}+\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{CB}$

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