Compresión lineal

De Laplace

Revisión a fecha de 17:23 16 nov 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Representación gráfica
3 Temperatura final
4 Trabajo, energía y calor
5 Temperatura máxima
6 División en dos tramos

1 Enunciado

Se tiene un volumen $V 0$ de un gas ideal diatómico a una presión $p 0$ y una temperatura $T 0$ encerrado en un recipiente con un pistón móvil. Este gas se comprime reversiblemente según la ley

$p = 3p_0-\frac{2p_0V}{V_0}$

reduciéndose el volumen hasta $V 0 / 2$ .

Trace la gráfica del proceso en un diagrama PV.
Calcule la temperatura final del proceso.
Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.
¿Para qué volumen durante el proceso la temperatura es máxima? Halle el valor de esta temperatura máxima.
Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle $W$ , $Δ U$ y $Q$ en cada uno de los dos subprocesos.

2 Representación gráfica

Dado que la presión depende del volumen en la forma

$p = a + b V\,$ $a = 3p_0\,$ $b = -\frac{2p_0}{V_0}$

es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es $(p 0, V 0)$ y el punto final corresponde a $V = V 0 / 2$ y a la presión

$p(V_0/2) = 3p_0 - \frac{2p_0(V_0/2)}{V_0} = 2p_0$

Por tanto el volumen final es la mitad del inicial, mientras que la presión es el doble.

3 Temperatura final

Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales. Inicialmente tenemos

$p_0V_0 = n R T_0\qquad\Rightarrow\qquad n R = \frac{p_0V_0}{T_0}$

En el estado final

$T = \frac{p V}{n R} = \frac{(2p_0)(V_0/2)}{n R} = \frac{p_0V_0}{n R} = T_0$

Por tanto, la temperatura final es igual a la inicial.

4 Trabajo, energía y calor

4.1 Trabajo

El trabajo realizado sobre el gas en un proceso reversible es igual a la integral

$W = - \int_{V_i}^{V_f}p\,\mathrm{d}V$

En nuestro caso

$W= -\int_{V_0}^{V_0/2} \left(3p_0-\frac{2p_0V}{V_0}\right)\mathrm{d}V = -\left.3p_0V\right|_{V_0}^{V_0/2}+\left.\frac{p_0V^2}{V_0}\right|_{V_0}^{V_0/2} = \frac{3p_0V_0}{4}$

Es muy fácil llegar a este resultado de forma gráfica, ya que el área bajo la curva es la de un trapecio de altura $V 0 / 2$ , base menor $p 0$ y base mayor $2 p 0$ . El área de este trapecio es

$W = \frac{1}{2}\left(\frac{V_0}{2}\right)\left(2p_0+p_0\right) = \frac{3p_0V_0}{4}$

4.2 Energía interna

Por tratarse de un gas ideal, la variación en la energía interna solo depende de la temperatura inicial y la final

$\Delta U = nc_v(T_f-T_i) = nc_v(T_0-T_0)=0\,$

Puesto que la temperatura inicial y la final son la misma, no hay variación en la energía interna del gas.

4.3 Calor

Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, hallamos el calor empleando el primer principio de la termodinámica

$Q = \Delta U - W = -\frac{3p_0V_0}{4}$

En este proceso se realiza trabajo, pero puesto que la temperatura del sistema es la misma al principio y al final, ese trabajo sale del sistema en forma de calor. Este proceso, no obstante, no es isotermo, ya que la temperatura del sistema cambia en los estados intermedios.

5 Temperatura máxima

La temperatura del gas en cada estado del proceso la hallamos por la ley de los gases ideales

$T(V) = \frac{p(V)V}{n R} = \frac{3p_0V-2p_0V^2/V_0}{p_0V_0/T_0}=\frac{3T_0V}{V_0}-2\frac{2T_0V^2}{V_0^2}$

La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.