3.3. Tensión de un péndulo
De Laplace
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1 Enunciado
Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa m y longitud l0 pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo θ0 con el que se separa de la vertical.
Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical.
2 Velocidad máxima
Podemos hallar la velocidad máxima a partir de la ley de conservación de la energía mecánica. La partícula está sometida a dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda.
La tensión va siempre en la dirección de la cuerda y por tanto es perpendicular al movimiento de la partícula. Por ello, no realiza trabajo sobre ella, y solo debemos considerar el trabajo debido al peso. Puesto que el peso deriva de una energía potencial
podemos escribir la ley de conservación de la energía mecánica
En el caso de las oscilaciones de un péndulo, si medimos las alturas desde el punto más bajo de las oscilaciones, cuando se halla en el punto de máxima separación de la vertical se encuentra a una altura
siendo su velocidad nula (si no, el ángulo no sería máximo). En el punto más bajo, su altura es nula y tiene una velocidad v. Igualando la energía mecánica en un punto con la del otro nos queda
y esto nos da la velocidad
3 Tensión
3.1 Punto inferior
En el punto más bajo las dos fuerzas son normales a la trayectoria y por tanto la aceleración tangencial es nula (por ello la rapidez tiene un máximo). La partícula, no obstante, está acelerada, pues posee aceleración tangencial. La segunda ley de Newton nos da
siendo 
la fuerza de reacción vincular, en este caso, la tensión de la cuerda. Despejando de aquí
El término debido al peso vale
mientras que el debido a la aceleración normal es
lo que nos da la tensión
Esta tensión es siempre superior al peso. Sólo iguala al peso cuando la lenteja se encuentra en equilibrio en el punto inferior (θ0 = 0).
El valor máximo de la tensión se da para el caso que la partícula parta del extremo superior (θ0 = π), en cuyo caso iguala a 5 veces el peso. Este resultado es coincidente con el que se obtiene para una anilla ensartada en un aro, ya que el movimiento de dicha anilla es el mismo que el de un péndulo (la condición de vínculo es la misma: distancia constante al centro de la circunferencia).
