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2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

\vec{r}=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}

donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

\theta(t) = \Omega_0t+\beta t^2\,
  1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y del tiempo
  2. Halle la rapidez del movimiento.
  3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
  4. Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula.

2 Parámetro arco

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable θ según la relación

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|

Derivando y calculando el módulo

\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}

El módulo de este vector vale

\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Puesto que el módulo es independiente de θ, su integración es inmediata

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}   \Rightarrow    s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

3 Celeridad

4 Aceleración tangencial

5 Velocidad y aceleración iniciales

6 Triedro de Frenet

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/2.8._Ejemplo_de_movimiento_helicoidal"

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